幾個常見的DP問題及解法

1. 求字串的最長不重複子串的長度

舉例：問題分析：

記字串存放在字元陣列cs中，遍歷cs的下標為i。分析可知，想求截止到i的最長不重複子串的長度，只要從i向左，找到第1個重複的字元，其右邊的數標記為left，則所求長度就是i-left+1與之前求得的結果中的最大值。舉例說明：

經分析可知，該演算法需要在每一次遍歷時，向左查詢0~i個不等的元素，所以時間複雜度是o(n2)，空間複雜度o(1)。

上述方案尚有優化的空間，是因為在尋找left時採用了簡單的遍歷。經過分析可以知道left的變化是有規律的。只要知道與cs[i]相同的字元在上一次出現的位置，記為k，則left=k+1（k>=left的前提下）。所以，我們需要乙個陣列，記錄所有元素最後出現的下標，就可以將查詢left的時間從o(n)降到o(1)，此時時間複雜度是o(n)，空間複雜度是o(1)（增加了長度為256的定長輔助陣列，所以空間複雜度不變）。

實現**如下：

public class solution 
return max;}}

考慮使用二維陣列help[i][j]，其中i是str1的下標，j是str2的下標，help[i][j]記錄的是str1的第i個字元與str2的第j個字元是否相等。舉例說明，字串abccba與deccb，其help陣列為：

很明顯，最長公共子串就是help中對角線上全為1的最長序列，就是圖中的紅色部分。這種解法使用了乙個m*n的輔助陣列，將時間複雜度降到了o(mn)。

其實，help陣列並不需要m*n，只需要n就夠了。如果將help陣列記錄成如下方式：

這樣一來，其實我們在每輪遍歷時，只需要記錄help的一行就可以了，如圖中紅框所示。下一趟遍歷可以覆蓋掉上一趟的結果，只要將有可能是最長的位置記錄下來即可，這裡要使用兩個變數end與length。end記錄help陣列當前的下標，length記錄對應的公共子串的長度。在最後一輪遍歷結束後，只需要返回從end-length+1到end的子串，就可以了。

下面是**：

public string getlongestcommonsubstring(string str1, string str2)
}}else
help[j]=0;}}
//get the longest common substring and return it
if(length==0)
return null;
else
return small.substring(end-length+1,end+1);
}

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