遞推 vijos1060 盒子

p1060盒子

accepted

描述n個盒子排成一行（1<=n<=20）。你有a個紅球和b個藍球。0 <= a <= 15, 0 <= b <= 15。球除了顏色沒有任何區別。你可以將球放進盒子。乙個盒子可以同時放進兩種球，也可以只放一種，也可以空著。球不必全部放入盒子中。程式設計計算有多少種放置球的方法。

格式輸入格式

一行，n，a，b，用空格分開。

輸出格式

一行，輸出放置方案總數。

樣例1

樣例輸入1

2 1 1

樣例輸出1

限制

1s方案數,又是方案數！

題目大意:給你n個排成一排的盒子，每個盒子裡面可以不放入，單放入一些紅球或者放入一些藍球，同時放入兩種球(都是若干個,注意原題說的是放入兩種球不是最多只能放兩個球哦)。然後要求的是滿足最後用的紅球不超過a個，藍球不超過b個的方案數。

演算法一:根據原題所說，用回溯暴力的模擬裝球的過程，每考慮完所有的盒子方案數就疊加1。時間複雜度不穩定最壞是o((ab)^n) 預期得分25~30

演算法一**如下:

#include
#include
#include
#include
#include
using
namespace
std;
typedef
unsigned
long
long ll;
const
int maxn=25;
int n,a,b;
bool vis[maxn][maxn][maxn];
ll ans=0;
void run(int i,int j,int k)
//當前考慮第i個盒子的放置情況,此時已經放了j個紅球,k個藍球。
for(int a=0;a<=a-j;a++)
for(int b=0;b<=b-k;b++)//if(!vis[i][a][b])
}int main()

演算法二:方案問題，我們很容易想到遞推，根據本題的要求和」求什麼就設什麼」的原則比較容易想到狀態函式f(i,j,k)表示用不超過j個紅球,不超過k個藍球放前i個盒子的方案數。

分析第i個盒子的選擇,顯然第i個盒子可以不放球或者單放乙個紅球或者單放兩個紅球 … 或者單放i個紅球或者單放乙個藍球或者單放兩個藍球 … 或者單放j個藍球或者放乙個紅球乙個藍球 …

根據狀態轉移的思想寫出遞推方程:

f(i,j,k)=f(i-1,j,k)+f(i-1,j,k-1)+…+f(i-1,j,0)

+f(i-1,j-1,k)+f(i-1,j-1,k-1)+…+f(i-1,j-1,0)

+… +f(i-1,0,k)+f(i-1,0,k-1)+…+f(i-1,0,0)

即f(i,j,k)+=f(i-1,x,y)| 0<=x<=j 0<=y<=k

邊界是f(0,j,k)=1

時間複雜度o(a^2*b^2*n) 預期得分100

演算法二的**實現:

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef unsigned long long ll;
const int maxn=25;
int n,a,b;
ll f[maxn][maxn][maxn];
/*    f(i,j,k)=在前i個盒子裡面放不多於j個紅球,不多於k個籃球的方案數. 
f(i,j,k)=f(i-1,j,k)+f(i-1,j-1,k)+...+f(i-1,j,k-1)+...+f(i-1,j-1,k-1)+...
f(0,i,j)=1; 
*/int main()

演算法三:優化遞推

由於a,b兩球除了顏色之外其餘的屬性都相同，不如將兩種球分別處理。

此時設f(i,j)表示選不超過j個球放入前i個盒子。

假設只有a球 f(n,a)就是n個盒子，a個紅球的方案數。

假設只有b球 f(n,b)就是n個盒子，b個紅球的方案數。

由乘法原理，最後的答案是f(n,a)*f(n,b)

同樣分析第i個盒子的情況，可以不選球，可以選乙個，可以選兩個…

對應的遞推方程:f(i,j)=f(i-1,j)+f(i-1,j-1)+f(i-1,j-2)+…+f(i-1,0)=sigma(f(i-1,x)) | 0<=x<=j

邊界分析 f(0,j)=1

這種方法的時間複雜度o(n*max(a,b)^2)

實現遞推的**:

for(int j=0; j
<=a || j
<=b ;j++)
f[0]
[j]=1;
for(int i=1;i
<=n;i++)
for(int j=0; j
<=a || j
<=b ;j++)
for(int k=0;k<=j;k++)

觀察到填表實現時f[i][j]的值其實是上一行所有f[i-1][j]的和，還可以繼續用字首和的思想優化,在列舉j的時候就算出t,然後再改變f[i][j]的值。

完整**:

#include
#include
#include
#include
#include
using
namespace
std;
typedef
unsigned
long
long ll;
const
int maxn=25;
int n,a,b;
ll f[maxn][maxn];
/*    f(i,j)=在前i個盒子裡面放不多於j個球的方案數 
f(i,j)=f(i-1,j)+f(i-1,j-1)+...+f(i-1,0);
ans=f(n,a)*f(n*b);
f(0,j)=1; |  0<=j<=max(a,b)
*/int main()
}cout
<'\n';
return
0;}

考試的總結:考的時候，只想到了第二種方法，資料也小，確實也能過。今天聽評講，mr.he提了乙個問題，如果n能到1000,a,b都能到500，對方案要取模怎麼辦。聯想的考的第二個題，這樣搞絕對要爆記憶體(128m),結果mr.he講了這個第三種優化方法，直接開二維就行了，時間也比三維的快，雖然寫了搜尋對拍過了，我覺得我還是沒做到一題多解，看來還是要多想啊！

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