排序演算法（1）插入排序的演算法分析

結語

今天，我們介紹的是排序演算法經典的一種排序演算法，這個演算法是插入排序。

開始時，我們的左手為空並且桌子上的牌面朝下（意味著我們不在翻開之前並不知道下一張牌是多大的）。

然後，我們每次從那些牌中選出一張牌，並把它插入到正確的位置（一般我們認為左邊的最小），我們從左到右（或從右到左）將它與已在手中的每張牌進行比較。

對於插入排序，我們將偽**的過程命名為insertion-sort

其中

引數是a[1..n]，為長度n的乙個需要排序的序列。

a.length表示陣列a中元素的數量

等insertion-sort結束時，輸入陣列a包含排序好的輸出序列。

代價次數

forj=2toa.lengthc1

n

key = a[j]c2

n−1

i = j - 1c3

n−1

whilei > 0anda[i] > keyc4

∑nj=2t

j

a[i+1] = a[i]c5

∑nj=2(

tj−1

)

i = i - 1c6

∑nj=2(

tj−1

)

a[i+1]=keyc7

n−1

該演算法的執行時間是執行每條語句的執行時間之和。基於此，我們可以計算在具有n個值輸入上insertion-sort(a)的執行時間t[n]，我們將代價與次數列對應元素之積求和，得 t(

n)=c

1n+c

2(n−

1)+c

3(n−

1)+c

4∑j=

2ntj

+c5∑

j=2n

(tj−

1)+c

6∑j=

2n(t

j−1)

+c7(

n−1)

最好情況下:對於給定的n個需要排序的，若輸入已排序，則出現最佳情況。這個時候，對於j=2,3，….,n，可以發現，當i取初值j-1時，有a[

i]≤k

ey。從而對j=2,3,…，n有tj

=1,也就是說只需要比較一次。

我估計說到這裡，有些人看不懂，我就簡單的說吧：

假設現在你左手中的牌都是已經排好序了的，而且是從小到大排序，現在你手上拿了一張牌，比你左手上的牌最右邊（即是你手中牌中最大）還要大，那麼你一定要保證牌是從小到大的排序，必然會把牌之間放在你牌的最右邊。而這個過程，你只是和你本來有的牌的最大一張比較了一次。

為: t(n)

=c1n

+c2(

n−1)

+c3(

n−1)

+c4(

n−1)

+c7(

n−1)

=(c1

+c2+

c3+c

4+c7

)n−(

c1+c

2+c3

+c4)

即 t(n)

=an+

b

其中

a 和

b依賴於語句代價ci

。

在最好情況下，插入排序的時間複雜度在o(

n)，即線性

時間上完成排序。

若輸入陣列已方向排序，即按照遞減排序排好了序,則導致最壞情況。我們必須把每個元素a[j]與整個已排序子陣列a[1..j-1]中的每個元素都要進行比較，所以對j=2,3,…,n，有tj=j。

我估計有人問為什麼tj

=j，那麼我就這樣告訴你吧:tj

是while語句進行比較語句的執行的次數，最後一次是進行i>0的判斷，所以a[1..j-1]與a[j]實際上進行了j-1次比較，那麼為什麼進行j-1次比較呢，我們這麼想，j代表我要加入第幾張牌，我就以j=3來說，我即將加入第3張牌進入我左手的牌中（左手有兩張牌，已經公升序排列了好了），而這個牌比前面2個都要小，那麼我是需要和比較兩次才知道的，所以一共比較j-1次。

∑j=2

nj=n

(n+1

)2−1

以及 ∑j

=2n(

j−1)

=n(n

−1)2

上述是求和遞推公式，我並不會給予證明，畢竟這可不是數學教學。

所以最壞的情況下的時間複雜度tn

為: t(n)

=c1n

+c2(

n−1)

+c3(

n−1)

+c4(

n(n+

1)2−

1)+c

5(n(

n−1)

2)+c

6(n(

n−1)

2)+c

7(n−

1)=(

c42+

c52+

c62)

n2+(

c1+c

2+c3

+c42

−c52

−c62

+c7)

n−(c

2+c3

+c4+

c7)

即 t(

n)=a

n2+b

n+c

其中

a 、b和

c 依賴於語句代價ci

。

在最壞情況下，插入排序的時間複雜度在o(

n2) ，即n的

二次函式

上完成排序。

n2)

接下來，我將會在下一文中編寫出語言版本去實現演算法。敬請期待。

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