RSA演算法中利用歐幾里得演算法求d詳細過程

rsa演算法中利用歐幾里得演算法求d詳細過程

rsa是第乙個也是使用的最廣泛的公鑰加密演算法，在2023年由r.rivest、adishamir和adleman三人發明，並以他們的名字命名。rsa演算法的安全性基於大數因子分解的困難性，下面介紹一下它的基本原理：

1、生成公鑰和私鑰

（1）選取兩個大素數：p和q；

（2）計算n=p*q；

（3）計算小於n並且與n互質的整數的個數，即尤拉函式?（n）=（p-1）*（q-1）；

（4）隨機選擇加密金鑰e，使1

（5）最後，利用euclid（歐幾里得）演算法計算解密金鑰d，使其滿足ed=1（mod ?（n））。

然後將（e，n）公開，即為公鑰pk，私人儲存好d，即為私鑰sk；

2、加密

將明文m分解成等長資料塊m1，m2，……，mi。加密時，按如下公式進行計算即可：

ci=（mi）e（mod n），密文c則由c1，c2，……ci組成。

3、解密

與加密一樣，按如下公式進行計算：

mi=（ci）d（mod n），明文m則由m1，m2，……，mi組成。

以上就是rsa演算法的公私鑰產生、加密和解密的過程。整個過程中，最難理解的部分應是1.5中的求私鑰d，很多課本提到的都是用歐幾里得演算法，但並未給出具體的計算過程，下面本人就通過乙個例項向大家介紹歐幾里得演算法在rsa中的應用。

例：令p=47，q=71，求用rsa演算法加密的公鑰和私鑰。

計算如下：

（1）n=pq=47*71=3337；

（2）?（n）=（p-1）*（q-1）=46*70=3220；

（3）隨機選取e=79（滿足與3220互質的條件）；

（4）則私鑰d應該滿足：79*d mod 3220 = 1；

那麼這個式子（4）如何解呢？這裡就要用到歐幾里得演算法（又稱輾轉相除法），解法如下：

（a）式子（4）可以表示成79*d-3220*k=1（其中k為正整數）；

（b）將3220對79取模得到的餘數60代替3220，則變為79*d-60*k=1；

（c）同理，將79對60取模得到的餘數19代替79，則變為19*d-60*k=1；

（d）同理，將60對19取模得到的餘數3代替60，則變為19*d-3*k=1；

（e）同理，將19對3取模得到的餘數1代替19，則變為d-3*k=1；

當d的係數最後化為1時，

令k=0，代入（e）式中，得d=1；

將d=1代入（d）式，得k=6；

將k=6代入（c）式，得d=19；

將d=19代入（b）式，得k=25；

將k=25代入（a）式，得d=1019，這個值即我們要求的私鑰d的最終值。

此時，我們即可得到公鑰pk=（e，n）=，私鑰sk=，後面的加密和解密直接套相應公式即可。