動態鄰域模型
靜態隱因子模型 r^
ui=q
tipu
為了學習向量pu
和qi 我們對下面的正則化平方差公式最小化：
minq∗,
p∗∑(
u,i)
∈k(r
ui−q
tipu
)2+λ
(∥qi
∥2+∥
pu∥2
) 常數λ
控制了正則化的程度，通常由交叉驗證得到。最小化通常通過隨機梯度下降或者交替最小二乘方法得到。
不過有些評分與使用者和產品的互動無關：有些使用者偏向於給產品打高分，有些產品會收到高分。我們將這類不涉及使用者產品互動的影響建模為baseline predictors。令
μ 為整體平均評分。對未知評分ru
i 的基準**評分表示為bu
i ： bu
i=μ+
bu+b
i 將基準**器與隱因子模型結合我們得到 r^
ui=μ
+bu+
bi+q
tipu
考慮隱反饋資訊的隱因子模型 r^
ui=μ
+bu+
bi+q
ti（p
u+|r
(u)|
−12∑
j∈r(
u)yj
） 其中集合r(
u)包含了使用者
u 評價過的產品。
模型的解釋：這樣的模型對於提供了很多隱式反饋（|r
(u)|
較高）的使用者，使得它們的**偏離基準**。這對於推薦系統是乙個較好的嘗試，因為我們總是希望對那些提供了較多反饋使用者從而可以較好建模的使用者冒更大的風險。對於這類使用者我們我們願意提供不常見的推薦。而對於提供較少使用者，我們更希望提供安全的**，在基準值附近。
將評分分解成不同的部分在這裡很方便，它是的我們可以分別對待不同的時間視角：（1）使用者的評分偏差bu
（評分尺度）隨時間變化；（2）產品的評分偏差bi
（產品流行度）隨時間變化；（3）使用者偏好pu
（興趣）隨時間變化。不過，我們認為產品特徵qi
與人不同不會隨時間改變。我們接下來首先通過基準**方法詳細討論時間效應。
基準**方法主要有兩個時間效應：產品評分偏差（產品流行性）的時間效應；使用者評分偏差（評分尺度）的時間效應。於是基準方法模型變為 bu
i(t)
=μ+b
u(t)
+bi(
t)函式bu
i(t)
表示使用者
u 對產品i在
t （這一天）的評分。在對上述模型建模時，我們需要考慮到時間變化是漸變型還是突然型。在電影評分的例子中，我們認為電影的喜愛度不太可能在一天之內有太大波動；但是我們發現使用者可能在一天之內有較大變化。那麼在對使用者偏差建模時就要求更精細的時間解析度，而對產品建模時可以採用較低的時間解析度。
首先對於產品偏差，由於我們不需要太精細的解析度，所以可以將產品偏差分割為基於時間的bin。在每個時間區間對應的bin我們使用乙個不同的產品偏差。如何將時間軸分割為時間bin應該在得到更精細的解析度（更小的bin）和在每個bin中有足夠的評分之間進行權衡。在timesvd++**中每個bin為連續十周的資料。因此在整個資料集上大概有30個bins。
t對應乙個bi
n(t)
（在我們的資料中是乙個1到30的數），這樣電影偏差就被分割為乙個靜態部分和乙個時間變化的部分： bi
(t)=
bi+b
i,bi
n(t)
對於使用者偏差來說，情況就要更複雜了。如何對使用者的時間區間進行不同粒度的劃分是首要要考慮的問題。
第乙個模型選擇是非常簡單，使用乙個線性函式刻畫了使用者評分偏差的可能的逐漸的漂移。我們首先引入一些新的符號，對每個使用者，我們將其評分的日期的均值表示為tu
。現在，如果使用者在第
t 天評價了一部電影，那麼這個評分相關的時間偏差定義為： de
vu(t
)=si
gn(t
−tu)
⋅|t−
tu|β
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