哪吒三太子 2016/4/20 於上海盧灣
中國高校教材把數列與級數放在《高等數學》或《數學分析》的前幾章學習是不合適的，在普通概念中自然數組成的數列與級數分析應比實數域上的函式極限分析簡單，但事實上因為自然數的離散性質，其概念往往與直觀相悖，引人深思。筆者在這裡做乙個關於數列與級數的簡略小結來涵蓋最重要的幾個主幹思想和分析方法。
bernoulli 不等式: (1
+x1)
(1+x
2)(1
+x3)
⋅⋅⋅(
1+xn
)≥1+
x1+x
2+x3
+⋅⋅⋅
+xn
xi符號
相同且x
i≥−1
其他經典不等式: n!
≤(n+
12)2
注：此不等式可看作「中值乘積最大假說」，是不等式 (k
)(1−
k)‾‾
‾‾‾‾
‾‾‾√
≤12 的實數軸拓展
上面的問題可由數學歸納法解決。數歸法的由來不屬於「數學」，它的思想由來於邏輯推理的基本事實
若a正確，且a可推導至b，那麼b也正確，只要滿足此關係，相似可推導至c.d.e至無窮。數學歸納法它可能是最早用來比較兩個數列的分析方法，因為它的思想直觀，所以很容易被接受並使用。
但數歸法也僅僅是乙個判定假設的正確性的工具��。
limx→∞
[12n
3+32
n3+.
..+(
2n−1
)2n3
] 很可惜，由於各類極限方程的「千變萬化」，除了用高超的數學技巧來解這些問題，似乎並沒有什麼其他更好的通用方法了。要先求出f(
n)=[
12n3
+22n
3+..
.+(n
−1)2
n3]
再利用 [1
2n3+
32n3
+...
+(2n
−1)2
n3]=
8f(2
n)−4
f(n)
的數列相減法來求極限。
上述可見，求數列的極限並非是件易事吶，首先你要知道f(
n)，其次要洞徹上述問題數列與f(
n)的關係，你才能得到最終的正確結果。而其中任何一項都需要敏銳的觀察力和厚實的知識沉澱。
那當我們遇到任何數列，是否真的都能以高超的技巧來求解呢？答案是否定的，很遺憾; 因為並非所有數列都能求出解，數學的世界中有無窮多個數列都是發散的。
每當我們拿到乙個數列的時候，我們不能都妄圖求解出它的極限，即使你是 gauss 小王子附身，也不可能求出「不存在」的極限。那麼問題就變成了如何判定極限存在與否？
事實上這個問題很早就被各大數學天才發現並試**決; 求極限太費勁了，節約生命人人有責。若∑
an,∑
bn都為
正項級數
∑bn收斂，又
an+1
an≤b
n+1n
,則∑a
n收斂
判定發散就是上述的逆。
d』alembert (1717-1783，法國����) 即使用 等比數列1n
與 數列進行比較
limana
n+1=
q,q>1收
斂，q<1發
散，q=
1演算法失
效 cauchy (1789-1857，法國����)
cauchy根式判別法 主要是這樣的： 若∑
n=1+
∞an是
正項級數
an‾‾‾√n
<1,
∀n≥n
,則級數
收斂 ∃
n無限多
,an‾
‾‾√n
>1,
則級數發
散 cauchy 其實是使用了等比數列與 ∑+
∞n=1
an進行一一對比的方式來確定級數收斂問題，an
與qn,
q≠1
當然若等比數列q=
1 無定義，相同的
cauchy根式判別法 也無定義。這是它演算法上的奇點。
雖然 cauchy 根式判別法已經足夠好了，但是求根在複雜方程中很不方便，比如(a
b+3+
3)3l
na‾‾
‾‾‾‾
‾‾‾‾
‾‾‾√
，很難進行化簡。所以在很多情況下比值判別法可能更好。
既然我們能用已知的等比數列和作為比較的尺度標準，那麼我們也可以用其他已知的級數做比較咯？
raabe (1801-1859, 瑞士����)
limn(a
nan+
1−1)
=q,q
>1收
斂,q<1發
散,q=
1演算法失
效 可以看出 raabe 在 d』alembert 的基礎上對數列進行了 (q
−1) 的餘項與
n 進行第二次比值判別，更加精細。gauss (1777-1855, 德國����) an
an+1
=λ+μ
n+vn
lnn+
o(1n
lnn)
λ>1收
斂，λ<1發
散 λ=
1時，μ
>1收
斂，μ<1發
散 mu
=1時，
v>1收
斂，v<1發
散 下篇將繼續介紹非正項也就是任意項級數的收斂判定問題。那你有可能就有疑問，既然任意項級數包含了正項級數，我們是否就可以「拋棄」上述判別法，而全部採用任意項級數判別法就好了？ 由於任意項級數判別比正項級數判別法更高階，所以它也就更加複雜和抽象，我並不是說它不能用來判別正項級數，而是說：殺雞不用牛刀，牛刀可以殺雞，但很麻煩。這個道理是一樣的。
第一章》函式 數列極限
實數集d的上確界 sup d 實數 數軸 實數與數軸可以一一對應 實數集基礎 例子區間 開區間 閉區間 半開半閉區間 領域 x x 去心領域 在領域的基礎上,去掉x本身 有界必須有最大的元素,也必須有最小的元素 上界大於等於乙個集合中最大的元素,都可以叫上界 上確界最小的上界 集合本身最大的元素 實...
python第一章筆記 第一章 基礎
參與除法的兩個數中有乙個數為浮點數，結果也為浮點數 如 1.0 2,1 2.0,1.0 2.0 python print 1.0 2 結果 0.5 print 1 2.0 結果 0.5 print 1.0 2.0 結果 0.5 整數 整數,計算結果的小數部分被截除，只保留整數部分 不會四捨五入 如 ...
資料分析第一章
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