【有 n 個硬幣，一開始全部正面朝上，每次可以翻轉 k 個硬幣（ k 小於 n ），那麼至少要 p 次翻轉，才能讓所有硬幣反面朝上，求 p 的值】
高能預警：
本題所用的數學工具不超過初中畢業水平，但情況繁多，完整討論並不容易，結論寫在最後。
解：本題的精髓在於對奇偶性的討論。
——情況1：若 n 為奇數——
1.1 若 k 為偶數 => 無解
證明：若要讓所有硬幣最終翻面，則每個硬幣都要翻面奇數次，共有奇數個硬幣，所以所有硬幣的翻面總數為奇數，但每次只能翻面偶數個硬幣，顯然不可能。證畢！
1.2 若 k 為奇數 => p為不小於 n/k 的最小奇數
（例1：n=7，k=5，那麼 n/k =1.4 則 p=3 ）
（例2：n=25，k=7，那麼 n/k= 25/7 則 p=5）
證明：
必要性：
若要讓所有硬幣最終翻面，則每個硬幣都要翻面奇數次，共有奇數個硬幣，所以所有硬幣的翻面總數為奇數，而每次只能翻奇數個硬幣，所以總的翻轉次數必然是奇數次，而翻轉次數不到 n/k 次時，並不能使所有硬幣至少翻面1次，所以p至少是不小於 n/k 的最小奇數。
充分性：
給硬幣編號為1-n，
第1次翻轉編號：1~n-2
第2次翻轉編號：1~n-3、n-1
第3次翻轉編號：1~n-3、n
done！（前 n-3 個硬幣翻面 3 次，後 3 個翻面 1 次）
只要讓前面的
根據定義，
這個情況，和 n 為奇數是類似的。
2.2 若
2.3 若
當反之，只要讓前面的
2.4 若且為奇數=> p為不小於 n/k 的最小偶數
當反之，首先由奇偶性得出翻轉次數必為偶數，
只要讓前面的
————————————
綜上所述：
若 n 為奇數：
若 n 為偶數：
#include #include #include #include #include #include #include #include #include #include #include #include #include using namespace std;
//#pragma comment(linker, "/stack:102400000,102400000")
#define maxn 10
#define mod 1000000007
#define mem(a , b) memset(a , b , sizeof(a))
#define ll long long
#define inf 100000000
int main()
}else
else if(k % 2 == 0&& k > n/2 && k < n-1) cout << 3 << endl;
else if(k %2 && k < n/2)
else if(k %2 == 0 && k < n/2)}}
return 0;
}
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