中位數及帶權中位數問題

資訊學競賽總是時不時與數學產生微妙的關係，中位數及帶權中位數問題有時常常成為解題的關鍵，今日有時間，所以梳理一下。

先從一到簡單的題看起：

士兵站隊問題

在乙個劃分成網格的操場上，n個士兵散亂地站在網格點上。網格點由整數座標(x,y)表示。士兵們可以沿網格邊上、下、左、右移動一步，但在同一時刻任一網格點上只能有一名士兵。按照軍官的命令，士兵們要整齊地列成乙個水平佇列，即排列成(x,y),(x+1,y),…,(x+n-1,y)。如何選擇x和y的值才能使士兵們以最少的總移動步數排成一列。

分析:這個問題我們可以把x，y分開看，兩者互不影響。其實就是求所以橫座標的中點，也就是中位數，那麼為什麼呢？

我們可以把所選定的位置左右的兩個點看成一對，只要所選位置在兩者之間，那麼長度恆等於兩點的線性距離和，所以我們可以根據每一對不斷縮小我們所選位置的範圍，最後如果有奇數個點，那麼就會在中間的那個點上，如果是偶數那麼在中間兩個數和他們所構成的區間，這樣想就容易發現中位數這一規律了。

典型的帶權中位數問題，把平面轉成線性即可。為何帶權中位數問題就是就權值的中位數呢，我們可以這麼想，不帶權的相當於權為1，每個點只有乙個人，那麼帶權就相當每個點有該點權值個人，這樣理解就與上面的思路神合了

ps:證明過程

若最優點在t

則有:∑(i<>t)<=∑(i<>t+1)

將此式化為:

∑*dist(l,t)}+∑+d[t+1]*dist(t+1,t)

<=∑*dist(l,t+1)}+∑+d[t]*dist(t,t+1) (lt+1)

即:∑-∑(l=∑-∑(d[r]*dist(r,t+1))(r>t+1)+d[t+1]*(dist(t,t+1))進一步化簡為:

∑(l<=t)<=∑(r>=t+1)∵dist(l,t)-dist(l,t+1)=dist(t,t+1)

dist(r,t+1)-dist(r,t)=dist(t+1,t)

obviously : dist(t,t+1)=dist(t+1,t)

因此:∑d[l](l<=t)>=∑(d[r])(r>=t+1)

即:∑d[l](l=∑(d[r])(r>t)

因此我們發現，若t是最優點，則必有其左邊的權值和加上d[t]後大於右邊的權值和

而類似的，我們可以證明其右邊的權值和加上d[t]後大於左邊的權值和

因此我們要找的點也就是滿足以上條件的點。注意到此時我們的選擇已經和具體的位置(座標)沒有關係了，而成為主要考慮因素的僅僅是各點上的權值。

因為左邊的權值和數+d[t]>=右邊的權值和，那麼:

leftsum+d[t]>=rightsum=sumall-(leftsum+d[t])

=>2*(leftsum+d[t])>=sumall

=>2*rightsum<=sumall

同理可得:

rightsum+d[t]>=leftsum=sumall-(rightsum+d[t])

=>2*(rightsum+d[t])>=sumall

=>2*leftsum<=sumall

此時我們發現:

2*leftsum<=sumall 而 2*(leftsum+d[t])>=sumall

也即是說當前的位置t上的數包含了第[(sumall)/2]個數，由開篇的簡述可知，這第[(sumall)/2]個數，就是這個序列中的帶權中位數。所以這一類問題，實質上就是帶權中位數問題。

#include#include#include#include#includeusing namespace std;

struct data

;data num[50003];

int n,i,j,k;

double sum,ans,xx,yy;

int xl,yl;

int cmp(data a,data b)

}for (i=1;i<=n;i++)

ans+=num[i].w*(abs(num[i].x-xl));

sort(num+1,num+n+1,cmp1);

for (i=1;i<=n;i++)

}for (i=1;i<=n;i++)

ans+=num[i].w*(abs(num[i].y-yl));

printf("%0.2lf",ans);

}

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