在《資料結構與演算法分析：c++描述》中看到個證明題：
證lo採用賦值y、求導什麼的都不成功，最後看了答案，作者機智地用了歸納法和遞推，順便也複習了一下導數、對數方面的知識。還特意試了markdown編輯器哈哈~gx<
x 對所有
x>
0 成立。（在電腦科學中，預設所有的對數都是以2為底的，除非另有說明）
因為底數為2，(l
ogx)
′=1x
ln2，
x>0，
ln2>
0 ，所以lo
gx單調遞增。
1.如果
01 ,當x
=1時，lo
gx=0
<
1 ，命題成立； 當0
<
x<
1 時，由於logx單調遞增，所以lo
gx<
0 ，而
x>
0 ，命題成立；
2.如果
12 ,當x
=2時，lo
gx=1
<
2 ，命題成立； 當1
<
x<
2 時，由於logx單調遞增，所以lo
gx<
1 ，而
x>
1 ，命題成立；
3.如果
x>
2 ,
現在假定對於正整數p（
p≥1）
，對於p2p
命題成立，現在證明對於2p
4p命題也成立。
(其實就是要兩倍關係遞推，證明lo
gy<
y 在這種情況下成立)lo
gy=l
og(2
y2)=
log2
(y2)
=log
2+lo
g(y2
)=1+
log(
y2)
因為2p4p
，所以p≤2
p ，所以lo
gy22 ，所以1+
logy
2<1+
y2；
因為p為正整數，p≥1，而y>2p，所以y>2，所以y2
≥1；
所以1+
y2+y2=
y; 又l
ogy<1+
y2，所以lo
gy<
y 成立。
綜上，對於所有的
x>
0 ，lo
gx>
x 成立，命題得證。
以上主要採用了歸納法和兩倍關係遞推，作者實在高明。對於個人而言，比較難想到的兩倍關係遞推和logy的拆分，主要要對logab=loga+logb，log1=0，log2=1熟悉，下面記錄一下常見的對數公式；
導數基本公式名稱
公式典例常數c
′=0 指數(
xa)′
=axa
−1(x
)′=1
對數(loga
x)′=
(1xl
na) (ln
x)′=
(1x)
正弦函式(s
inx)
′=co
sx余弦函式(c
osx)
′=−s
inx
加減復合函式[u
(x)+
v(x)
]′=u
′(x)
±v′(
x)乘法復合函式[u
(x)∗
v(x)
]′=u
′(x)
v(x)
+u(x
)v′(
x)除法復合函式[u
(x)v
(x)]
′=[u
′(x)
v(x)
−u(x
)v′(
x)v2
(x)]
′ (v(x)≠0)
[1]: 證明 logx < x 對所有 x > 0 成立.
[2]: 維基百科：導數
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