有這麼乙個笑話：
一天，數學家覺得自己已受夠了數學，於是他跑到消防隊去宣布他想當消防員。 消防隊長說：「您看上去不錯，可是我得先給您乙個測試。」這雖然是一則笑話，卻道出了乙個非常重要的數學思維方式——轉換思想。消防隊長帶數學家到消防隊後院小巷，巷子裡有乙個貨棧，乙隻消防栓和一捲軟管。消防隊長問：「假設貨棧**，您怎麼辦？」
數學家回答：「我把消防栓接到軟管上， 開啟水龍，把火澆滅。」消防隊長說：「完全正確！最後乙個問題：假設您走進小巷，而貨棧沒有**，您怎麼辦？」數學家疑惑地思索了半天，終於答道：「我就把貨棧點著。」 消防隊長大叫起來：「什麼？太可怕了！您為什麼要把貨棧點著？」
數學家回答：「這樣我就把問題化簡為乙個我已經解決過的問題了。」
當年數學家卡笛爾躺在病床上，看著天花板上的壁虎，暝思苦想如何向另一數學家描述壁虎的位置，突然靈光一現，想出了直角坐 標系統。所有幾何世界上的點全部都可以用一對二元組（座標）來表示，將平面幾何的關系統全部轉換成代數關係。這就是代數幾何的由來。卡笛爾的偉大之作是發明發座標系統，可以將幾何問題轉換成代數問題。
這裡的新舊知識並不是指古老的舊知識和最近10年湧現出來的新知識，而是你已經掌握並可以運用自如的老知識和你當前正要學習的新知識。新舊並不是指知識的時間關係，而是你自身知識結構中已掌握的和正要學習的知識。
我們總是使用舊的知識去理解或者認識新的知識，因此新舊知識的連線關係猶為重要。從關係來分，大致有：互補關係，擴充套件關係和對映關係。每種關係有各自的特點，應用方法也不盡相同，下面重點介紹各種關係的特點和應用。
互補關係，在這裡也可以稱為對立關係，後面會專門寫一篇關於「對比和模擬」學習方法的文章，詳細介紹如何應用這兩種方法，這裡重點分析新舊知識的互補關係。
互補，顧名思義就是相互補充的，兩者一起構成乙個知識概念（或者技術、功能、元件等）的兩個互為相反的部分。
以整數為例，正數和負數這兩個知識點是互補關係。在掌握了正數的運算方法並能熟練執行的情況下（舊知識是正數），再學習負數知識（新知識是負數），如果利用互補關係進行學習，這是本文要**的。
互補的兩個部分，具有相同的規則性，但形式卻剛好相反。
正數和負數的運算規律性都是相同的，以加法運算為例，正數和負數的加法表示量的疊加，兩個同類量相加，越加則越多（絕對值越大）。但表現形式剛好相反，兩正數越加越大，兩負數則越加越小。
那麼當學習新知識時，找到與它互補關係的舊知識，了解老知識的規律性和形式。通過上述的分析，新知識也具有相同的規律性，但它表現出來的形式卻是相反的。通過這兩點去理解新知識的特性，可以事半功倍。
擴充套件關係，又稱延伸關係。幾何上的點，延伸出去是線。點和線是為擴充套件關係。
乙個知識點描述乙個理論點，而另乙個知識點在它的基礎上進行擴充套件，描述乙個更普遍的理論點，那這兩個知識點就是擴充套件關係。
前段時間表哥打**過來問如何求扇形的面積，我沒有直接說出公式，而是通過「推導」的方式得出公式，其實這就是兩個知識點具有擴充套件關係的典型例子擴充套件關係，是指在舊知識的基礎之上，將原來知識結構中的乙個或者多個元素（或因子）進行通用化後，形成新的知識和理論。從形狀來看，圓形是扇形的特殊化例子，圓是360度的，而扇形的弧度是可變的。
因此，圓只是弧度為360度的扇形特例，而扇形則是更泛化的圖形，它可以是任意弧度的。那麼它的面積是與弧度強相關的，當弧度為360時，它的面積是等半徑的圓的面積。
可以輕易得到扇形的面積計算公式：面積 = 等半徑圓的面積 x 弧度 / 360
以一元方程為例，在解決實際問題時，需要增加乙個變數，即將原來的常量泛化成另乙個未知變數，從而形成二元方程。那麼二元方程如何求解呢？
二元方程與一元方程其實是擴充套件關係，只要深入理解了一元方程的解法，二元方程也迎刃而解：只要將第乙個變元數當成不變數，然後把方程看作只有第二個變元為未知數的方程求解，得到第二個變元與第乙個變元的關係，然後再代入求解。
擴充套件關係知識的要點是將點知識，增加乙個或者多個變元，形成乙個線知識。
物理學上「點」和「線」的乙個例子：
1）乙個物理靜止時，它是靜止狀態，速度為0符合擴充套件關係的知識點，新知識的邏輯結構就是在舊知識的邏輯結構基礎上增加乙個或多個變元。2）當給它乙個外力時，它做勻速執行； 比場景1）增加了變元速度
3）當再將它的執行面板排程成傾斜面時，它的速度是會變化的，出現了加速度， 比場景2）出現了加速度，增加變元加速度
4）如果再結它乙個部外變化的力，它的執行軌跡又發生了變化；比場景3）增加了可變的外力，增加變元是外力
每個場景都比之前的場景更加泛化，多出現乙個變元。
對於具有擴充套件關係的新知識，需要分析新知識在舊知識的基礎上，將哪些因素進行通用化。然後在舊知識的基礎上引入乙個新變元，從而探索出新知識的行為和特點。
每天早起床梳洗時照鏡子，不知大家是否注意鏡子中的那個不是真正的你，是你的對稱成像。
如果你用過放大鏡或者顯微鏡，會發現鏡子裡面的東西比真實世界中的放大千百倍。
如果照過哈哈鏡，你發現對面的是完全陌生的人，根本不像我們本人。
沒錯，上述鏡子中的都不是我們自己，它只不過是鏡子充當乙個外科整容醫生，將活生生的我們，整成另乙個人。
對映就相當於上在的鏡子，將乙個知識，通過伸縮、變形、同構等魔法手段，變成另乙個知識。如果新知識與某個舊新知存在具有同構性或者相同規律性，我們稱之具有對映關係。
上述中的鏡子，不管如何變化，它的規律性不會丟失。如同乙個人在哈哈鏡面前，儘管高矮肥瘦發生的變化，但它是相形是沒有變化，這就是內在規律的不變性。
對於兩個知識點，要識別出它們具有對映關係是非常困難的。另外，具有對映關係的兩個知識，可能屬於兩個不同的領域。只要它們的原理是相通的，然後就可以從乙個舊知識，根據規律性，掌握新知識。
所以，關鍵是將你掌握的舊知識，提煉它的規律，轉移到新的領域，理解新知識。
利用舊知識理解新知識，是提公升學習效率和構建知識結構的絕佳方法。但實際中卻沒有這麼容易把握。
所以，利用已舊知識理解新知識更多是一種學習框架和指導理念。它需要學習者對舊知識擁有全棧的知識結構和系統化的知識樹，同時這兩者的建立又依賴於「利用舊新知理解新知識」
所以，多分析，多模擬，多對比是進入該通道必須不可少的手段。
論如何高效學習新知識
本文只針對作者自身現階段出現的問題 最近發現跟我同時學習的一位同學，學習進度已遠遠把我甩在了後面，當初我們都是學php的，現在我還在研究框架機制，而他已大肆的在前段端和node.js領域馳騁，我突然發現，自己學習的進度真的好慢，之前說學go程式設計也擱置了。其實我早就發現這個問題了，只是對這個問題的...
學習新知識的方法
先了解知識的背景，然後了解該知識要解決的問題，最後了解知識的目的。知識的背景 這個知識產生的原因，是在什麼情況下產生的，這個知識產生之後，問題解決了多少，解決到什麼程度。舉例 泰勒公式的目的就是為了用多項式更好地擬合複雜函式，使得複雜函式可以做更多的事情。學到的知識要去實踐，才能對其精髓體會更深。先...
學習新知識的過程
做程式設計都好幾年了，每次剛開始學習新知識的時候都是乙個比較痛苦的過程，然後等學會了以後就又是充滿喜悅和成就感！哈哈 突然感覺這樣的過程很奇妙，這就是實實在在的生活，它能夠讓我們每天都特別充實。其實總結一下每次學習新知識的過程都有規律可循的。首先將要學習的內容確定了，然後給自己定乙個目標，什麼時間可...