藍橋杯演算法提高週期字串

思路:

相信大家都很容易想到, 根據字串的長度, 求出所有約數, 然後按照約數的順序來檢驗 . 但是檢驗的策略非常重要, 最重要的兩點就是:

(1)對每個不同長度週期的字串, 最多隻判斷一次.

(2)如果長度為n的字串在原串的週期檢驗中不成立, 則長度為n的約數的字串也不會成立 .

根據上述的結論, 我們可以大概感覺到, 我們不僅要求約數, 還要求約數的約數( 依次遞迴 ) , 而約數的約數本身又是原數的約數 , 至此, 可以斷定使用多叉數結構(有向圖)來進行約數儲存( 我把它稱為約數樹 ).

完全約數樹: 如果根結點的所有約數都是根結點的下屬結點(無論直接或間接), 則該樹為完全約數樹.

在貼**之前, 我要對約數樹的理論結構做出宣告:

(1) 描述整個問題域的約數樹是一棵完全約數樹, 但其所有子樹都不一定是完全約數樹( 這樣可以避免約數重複而導致的週期判斷重複 ).

(2) 從樹根開始, 先序遍歷約數樹進行週期判斷, 如果某結點判斷失敗, 根據策略2, 則其所有子樹結點都將失敗, 不必再檢驗.

以24為例, 給出如下約數樹:

/*約數樹 : 子結點必然是根結點的約數, 但反之不成立*/

struct edgee[maxn]; // ...所有邊的集合

struct cnodev[maxn]; // ...所有點的集合

int nedgecount = 0; // ...當前已經使用的邊的總量

int strlen; // ...原字串總長度

int minlen = maxn; // ...當前已知的最小正週期

char ss[maxn]; // ...原字串

// 新增一條從v[root]指向v[subroot] 的邊

// 複雜度: o(1)

inline void addedge( int root, int subroot )

// 建立約數樹

// 複雜度: o(?)

void buildtree( int root )

if( !v[i].isbuilt )

} }}// 匹配原串ss[0 ... length-1] 中是否存在長度為partlen的週期串

// 複雜度: o(length)

bool match( int length, int partlen )

} return true;

}// 匹配 ss[ 0 ... root-1] 中的最小週期串

// 複雜度: o( root的約數總數 )

void dfs_match( int root )

int main(int argc, char** argv)

最後說兩句:以約數樹為基的檢驗策略似乎沒有從根源上減低時間複雜度, 甚至因為建樹而耗損了一些額外的時間, 但其的確大大減低了原複雜度的係數, 整個演算法從根本上來說, 只是一種可行性剪枝, 但本人最後沒有辦法算出建樹的複雜度,所以無法準確推敲.

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