此文翻譯自這篇文章theta*: any-angle pathplanning for smoother trajectories in continuous environments
，簡單介紹了theta*演算法，這是一種基於a*的搜尋演算法。筆者翻譯不妥的地方，還望諒解。
然而，由於a*的簡單性和最優性，幾乎總是會選擇它作為搜尋演算法。這是因為a*能確保在圖中找到一條最短的路徑。a*的問題是雖然它能在圖中找到一條最短的路徑，但是這條路徑並不是真實、連續的環境中的最短路徑。a*通過圖中的邊來傳播資訊和約束路徑的形成，圖中的邊會智慧型的約束路徑的方向。插圖1和2是乙個連續環境分別離散化為2d網格和導航網格。2d網格和導航網格上的最短路徑（插圖1和2左側）比連續環境中的最短路徑（插圖1和2右側）更長，看上去更不真實。
插圖1:2d網格中路徑對比真實路徑
插圖2： 導航網格中路徑對比真實路徑
插圖3：使用了平滑處理的a*尋路
簡潔起見，這邊文章將使用2d網格來描述連續環境，灰色的方塊代表障礙不能通過，白色的方塊則可以通過。另外，我們使用網格的角點作為頂點而不是網格的中心點。不過這兩個假設對於theta*演算法來說都不是必須的。我們的目標是從開始點到目標點之間找到一條看起來真實的短路徑，且不能穿過障礙。如插圖1所示。theta* 的動機是結合兩個現有的路徑規劃技術的優良屬性。
在本文中我們假設每個格仔都有8個相鄰的格仔，設定v表示網格頂點的集合，sstart
是搜尋的開始點，sgoal
是目標點。c(s,s')是頂點s 和s'的直線距離，lineofsight(s,s') 是真當且僅當s 和s'能互相通過視線「看」到。nghbrvis(s)是頂點s能夠「看」到的鄰接點。
插圖4：a*偽**
theta*建立在a*演算法之上，因此值得在此介紹一下。a*使用
h(s)
來預估頂點間的距離（
h-values）。a*會為每個頂點維護兩個值：（1）
g-value
是從開始點到當前點
s的最短路徑的長度。（2）父節點在搜尋結束時用來提取路徑。路徑的提取是通過目標點的父指標不斷回溯到起始點得到的。a*同時會維護兩個結構：（1）open list是乙個包含頂點以擴充套件優先順序排序的表。（2）closed list包含了那些已經搜尋了的頂點。a*會更新
g_value
和頂點s
到未展開的鄰接點
s』：通過計算從開始點到
s的路徑（
g(s)
）和從s到s』的直線距離（
c(s,s')
）來計算出乙個長度
g(s) + c(s,s')
。如果新的路徑比當前最短路徑還要短的話，它會更新
g-value
和s』的父節點。
這些通過a*找到的路徑經常開起來像是被乙個醉漢建立出來的。這不僅是因為這些路徑比最短路徑要長，而且這些路徑是被人工約束在網格上的。處理這個問題的最常見的技術就是後處理那條通過a*得到的路徑。一種方法是拉緊這些路徑，就像他們圍繞在障礙上的 「橡膠帶」。後處理技術縮短了路徑，但是感覺上是裝飾品。a*只考慮約束在網格邊上的路徑，於是搜尋不能做出更加合理的決定。由此產生了這樣乙個事實：路徑的拓撲結構是由a*搜尋來決定的，而搜尋演算法卻不知道後處理處理後的路徑。此外，正像我們在插圖3中看到的，選擇乙個能夠簡單有效的後處理平滑演算法可能會是非常困難的。在一些情況下，後處理根本不能減少路徑的長度，且有可能比最短路徑增長8%。我們因此開發了theta*，它在搜尋期間不再約束路徑在格仔的邊上，於是能夠做出更合理的決定。
插圖5：theta* 演算法偽**
theta*與a*關鍵的不同是theta*允許乙個頂點的父親可以是任意頂點，而a*只允許頂點的父親必須是鄰接點。main函式和updatevertex函式和插圖4中的相同因此沒有列出來。我們使用一致的函式h(s) =c(s,sgoal)
來計算直線距離。theta*與a*基本是一致的，除了theta*會通過考慮以下兩種路徑來更新頂點s未展開的鄰接點的
插圖6：theta*演算法通過路徑1和路徑2分別更新點s
如果任意乙個路徑比最短路徑還要短，theta*就會更新g-value和s』的父節點。比如：考慮插圖6中從b3點（父節點a4）開始。b2是乙個可擴充套件的鄰接點，但是b2「看」不到a4，因此只能獲得路徑1（右圖）。c3也是乙個可擴充套件的鄰接點，它可以「看」到a4，因此就可以得到路徑2（左圖）。
插圖7：theta*的追溯圖
插圖7展示了theta*乙個完整的追溯圖。每乙個頂點用g-value 來作為標記，並且用乙個箭頭指向了它的父節點。空心圓指示出了當前正在擴充套件的頂點。開始點a4先開始擴充套件，之後是b3，b2和c1。
插圖8：theta*路徑（藍色）和a*路徑（紅色）
插圖8比較了theta*和a*在bioware的乙個著名rpg博德之門中的一張地圖上的搜尋路徑，這張地圖被分為了100*100的正方形格仔。theta*演算法的路徑明顯要更短看上去也更加真實。此外，a*演算法的後處理平滑也不能把a*得到的路徑處理成theta*演算法得到的路徑，因為它們的拓撲結構是不一樣的。
視線演算法在正方形格仔上可以執行的非常快，只需要比較整數值就可以了。因為執行視線演算法很像是在兩點之間繪製直線時，在光柵顯示器上繪製點圖形。所繪製的點對應於直線穿過的單元。於是，當且僅當所繪製的點沒有落在阻塞的格仔上兩點能互相「看」到。這允許theta*使用乙個標準的整數運算了執行視線測試，而不使用浮點運算；如插圖9所示，只有當對應的格仔被阻塞時
grid[x,y]
才是true. 方便起見，插圖9中的偽**在路徑穿過阻塞格仔會返回true。然而，theta*不管路徑是否能穿過阻塞的格仔都是完整和正確的。
插圖9：在正方形格仔上的視線演算法的偽**
當theta*不保證能在連續環境中找到一條最短路徑時，它會花費更大比例的時間找到最短路徑。比如，插圖10中，theta*在連續環境中從那個大紅點到每個藍點都找到了最短路徑。我們使用了一張遊戲地圖（博德之門）和一張隨機地圖來進行廣泛的分析。
我們發現平均來說theta*找到的路徑的長度與最短路徑的比率在遊戲地圖上是1.007，在隨機地圖上是1.002.這明顯比a*的比率1.04要好。theta*只是比用octile distance heuristic 優化過的a*版本要慢一點。然而，當你結合後處理來看時，theta*會更討人喜歡。此外，在octileheuristic根本不存在的情況下，並不值得在導航網格上進行深度的優化。theta*在可檢視上比標準版a*的速度要快乙個數量級。
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