約瑟夫環O N 和O M N 演算法詳解

問題描述：

已知n個人（以編號1，2，3…n分別表示）圍坐在一張圓桌周圍。從編號為1的人開始報數，數到m的那個人出列；他的下乙個人又從1開始報數，數到m的那個人又出列；依此規律重複下去，直到圓桌周圍的人全部出列，求最後乙個出列人的編號。

該問題可以用陣列或者迴圈鍊錶模擬，因為都是直接模擬，需要迴圈n次，每次數m次，所以時間複雜度都是o(n*m)。雖然複雜度比o(n)大，但是可以求出出圈的編號順序。也正是因為該方法將每次出圈的人都找了出來，所以做了很多無用操作，複雜度才會高達o(n*m)。

下面是陣列和鍊錶方法的**：

題意：n個人，從第k個人開始數1，數到m的人剔除,輸出剔除的順序。

#include 
#include
#include
#include
#include
using
namespace
std;
#define maxn 10000
int a[maxn];
int n,k,m;
bool incircle[maxn];
typedef
struct _nodenode;
node* makedll(int n)
return head;
}void josephdll(node* head, int k, int m)
/*delete operation,begin*/
q = nodetodelete->next;
q->prev = nodetodelete->prev;
nodetodelete->prev->next = q;
printf("%d ",nodetodelete->number);
if(nodetodelete == head)
free(nodetodelete);
/*delete operation,end*/
nodetodelete = q;/*count from the next node*/
}printf("%d\n",head->number);
}void josepharr()
i--;
cout
<1)<
incircle[i%(n+1)]=0;/*delete the member i%(n+1) from the circle*/
}}int main()
cout
<
josepharr();/*base on the array*/
for(int i=1;i<=n;i++)
node* head;
head = makedll(n);
cout
josephdll(head,k,m);/*base on the doubly linked lists*/
return
0;}

o(n)方法運用動態規劃，或者說遞推，或者說找規律，都行吧。雖然複雜度低，但是不能求出出圈的順序。如果需要求出出圈的順序，複雜度依然是o(n*m)。

該方法遞推公式網上很多都能找到，但是卻極少人給出遞推過程。

我們發現，當從圈出來乙個人之後，後乙個人需要從1開始重新計數直到計到m。例如有n個人(1,2,3,… ,n-2,n-1)，第m個人出來之後，需要從第m+1開計數。如果從m+1個人重新編號(即m+1個人編號為0,m+1為2,… …)，那麼對剩下的n-1個人的操作跟開始有n個人的時候操作就是一樣的。

這就是可以運用動態規劃的原因：n的情況跟n-1的情況存在著某種關係。而我們只需用動態方程將這種關係表達出來，問題就可以解決。

下面顯示了如何進行重新編號：

設n個人圍成乙個圈的時候出列是第x』號，n-1個人圍成乙個圈的時候出列的是x號，並假設x已經求出來，那麼根據上面的遞推公式就可以反推求x』: 因為x=(x』*n+n-m)%n=x』*n%n+n%n-m%n=x』-m%n

所以x』=x+m%n=(x+m)%n

如果定義：dp[n]表示圈裡有n個人的時候最後剩下那個人的編號,答案就是dp[n]。

那麼就有dp[n]=(dp[n-1]+m)%n

但是dp[n-1]並不知道，所以dp[n]也沒法求出。當然dp[n-1]也需要通過動態方程求出：

dp[n-1]=(dp[n-2]+m)%n。

同樣dp[n-2]，dp[n-3]….分別需要用dp[n-3],dp[n-4]求出。

最後dp[2]需要dp[1]求出，然而dp[1]=0是已知的。

所以從dp[2]開始依次可以求出dp[2],dp[3],dp[4]…dp[n]。

那麼問題就解決了。

#include 
#include
#include
#include
#include
using
namespace
std;
#define maxn 10000
int dp[maxn];
int joseph(int m, int n) 
return dp[n];
}int main()

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