hiho一下第六十周

給定只包含字母的兩個字串a,b，求a,b兩個字串的最長公共子串行，要求構成子串行的子串長度都必須大於等於3。

比如」abcdefghijklmn」和」ababceghjklmn」，其最長滿足題意要求的子串行為」abcjklmn」，其由公共子串」abc」和」jklmn」組成。

這裡我們要注意子串和子串行的區別：

比如」abcdefghijklmn」和」ababceghjklmn」的最長公共子串就只是」jklmn」了。

首先我們來複習一道經典的題目：

給定只包含字母的兩個字串a,b，求a,b兩個字串的最長公共子串行。

比如"abcde"和"abdfg"的最長公共子串行為"abd"

對於最長公共子串行，我們知道解法為

dp[0][0..j] = 0    // 邊界
dp[0..i][0] = 0    // 邊界
for i = 1 .. n
for j = 1 .. m
if a[i] == b[j] then
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
else
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])
end if
end for
end for

而這一道題目是在最長公共子串行上加入了乙個條件：構成最長公共子串行的每乙個子串長度必須大於等於3.

乙個簡單的想法：我們求出最長公共子串行，然後將其中長度小於3的部分去掉。

顯然，這是不對的。

舉個例子：」aaabaa」和」acaaaca」的最長子串行為」aaaaa」。其對應關係為：

a aaba a

acaa aca

因為在」acaaaca」中第乙個字母a長度為1，所以我們需要去掉它，對應的我們也去掉了」aaabaa」中第乙個字母a。

. aaba a

. caa aca

此時構成」aaabaa」和」acaaaca」公共子串行的3個子串為」aa」,」a」和」a」，長度都小於了3，所以全部刪去，則得到了新的公共子串行長度為0。

這顯然不正確，因為實際有符合題意要求的公共子串行：

aaa baa

ac aaa ca

其中包含有長度為3的公共子串行。

對最大公共子串行的結果進行再次處理這個方法不可行，那麼我們只能從計算公共子串行的演算法著手。

首先我想我們可以做乙個預處理，用f[i][j]表示以a的第i個字母作為結尾的字首和以b的第j個字母作為結尾的字首的公共字尾的長度。這樣看上去似乎很繞，不如舉個例子：

a=」abcd」和b=」acbc」。f[3][4]的就表示a[1..3]和b[1..4]的公共字尾的長度，其中a[1..3]=」abc」，b[1..4]=」acbc」，其公共字尾為」bc」，所以f[3][4]=2.

預處理的偽**為：

for i = 1 .. n
for j = 1 .. m
if a[i] == b[j] then
f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + 1
else
f[i][j] = 0
endif
endfor
endfor

有了這個預處理的陣列，我們可以在原來最大公共子串行上做這樣乙個改進：

dp[0][0..j] = 0    // 邊界
dp[0..i][0] = 0    // 邊界
for i = 1 .. n
for j = 1 .. m
if f[i][j] >= 3 then    // 改進
dp[i][j] = dp[i - f[i][j]][j - f[i][j]] + f[i][j]
else
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])
end if
end for
end for

這個改進的意義為：當我們出現乙個長度大於3的子串時，我們就直接將這個子串合併入我們的子串行。

加入這個改進後，我們通過了樣例的資料，這樣看上去似乎就應該沒什麼問題了。

然而事實並不是這樣，在這道題目中還隱藏著陷阱：

比如」abcdef」和」abcxcdef」

根據我們演算法，上面這個例子算出的結果為4，然而其實際的結果應該為6，即」abc」和」def」兩個公共子串構成的子串行。

那麼出錯的原因在哪？就在字串」cdef」上。

我們計算結果出4是因為將」cdef」看做了乙個整體，而將」abcdef」分割成了」ab」和」cdef」。

在dp的過程中f[6][7] = 4，我們使用了dp[6][7] = dp[2][3] + 4，而dp[2][3] = 0，所以dp[6][7] = 4。

ab cdef

abcxcdef

而實際上的最有解是將f[6][7]看作3，dp[6][7] = dp[3][4] + 3，其中dp[3][4] = 3，得到了dp[6][7] = 6。

abc def

abcxcdef

也就是說，如果我們將f[i][j]>3的子串進行分割，有可能得到更優的情況。因此我們需要進一步的改進：

dp[0][0..j] = 0    // 邊界
dp[0..i][0] = 0    // 邊界
for i = 1 .. n
for j = 1 .. m
dp[i][j] = 0
if f[i][j] >= 3 then    // 改進
for k = 3 .. f[i][j]    // 列舉分割長度
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - k][j - k] + k)
end for
end if
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])
end for
end for

但是這樣的改進使得整個演算法的時間複雜度變為了o(n^3)，當n=2100時，有可能會超時。

讓我們考慮一下如何進一步改進這個演算法。以上演算法複雜度高的地方在於對於每乙個(i, j)，我們為了計算dp[i][j]都需要列舉分割長度k：

for k = 3 .. f[i][j]    // 列舉分割長度
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - k][j - k] + k)
end for

這一步實際上我們計算了max, k=3..f[i][j]。我們不妨把它記作dp1[i][j]，即：

dp1[i][j] = max = max

同時

dp1[i-1][j-1] = max
= max

我們可以發現，dp1[i][j]的展開式中除了dp[i-3][j-3]+3這一項，是與dp1[i-1][j-1]中的每一項一一對應的，並且剛好大1。所以實際上dp[i-1][j-1]計算時列舉過分割長度，我們並不需要再次計算：

dp1[i][j] = max

最後得到我們新的偽**如下，其中dp[i][j][0]對應上文分析中的dp[i][j], dp[i][j][1]對應dp1[i][j]：

dp[0][0..j][0..1] = 0    // 邊界
dp[0..i][0][0..1] = 0    // 邊界
for i = 1 .. n
for j = 1 .. m
dp[i][j][1] = 0
if f[i][j] >= 3 then    // 改進
dp[i][j][1] = max(dp[i][j][1], dp[i - 3][j - 3][0] + 3)     // 以長度3為分割
if (f[i][j] > 3) then
//按照dp[i-1][j-1][1]的分割方式分割，即直接將(i,j)接在(i-1,j-1)後面
dp[i][j][1] = max(dp[i][j][1], dp[i - 1][j - 1][1] + 1)
end if
end if
dp[i][j][0] = max(dp[i-1][j][0], dp[i][j-1][0], dp[i][j][1])
end for
end for

至此我這道題目也算是完整的解出了。

這個題目是在經典的動態規劃題目《最長公共子串行》上做了一點修改。雖然只增加了乙個條件，不過難度增大很多。能想出乙個複雜度是o(n^2)的正確演算法不是很容易，需要仔細分析清楚各種情況。一不小心就會掉進各種陷阱裡。

很多選手都能夠想到經典最長子序列的改進演算法而獲得80分。

剩下的測試點則對應了演算法分析中提到的陷阱，所以能否找出這種特殊的例子也是解決這道題的關鍵。

不過微軟的出題人似乎沒有想太為難大家，資料並不是很強。在實際的比賽中，o(n^3)的演算法也能拿到滿分，最終該題目的通過率為9%。

很多o(n^2)的程式不能通過」babad」和」babacabad」這組資料。

#include 
#include 
#include 
using
namespace
std;
char a[2110], b[2110];
int dp[2110][2110][2], f[2110][2110];
int main() 
}printf("%d\n", dp[len_a][len_b][1]);
return
0;}

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