在串的模式匹配演算法中，kmp演算法稱得上是經典演算法了。簡約而不簡單，是對kmp演算法最恰當的評價。該演算法是由d.e.knuth，j.h.morris和v.r.pratt三人同時發現，因此人們稱它為kmp演算法。廢話不多說，現在開始進入正題。
首先宣告兩點：
字串 採用定長順序儲存結構，主串用s表示，模式串用t來表示。用n來表示主串s的有效字元長度，用m來表示子串t中有效字元的長度。
陣列下標從0開始，但要注意，陣列s[0]和t[0] 中存放的是串的長度。也就是說，字串從s[1]和t[1]開始。（與嚴蔚敏老師的書保持一致）
主串s: ababcababa 用 i 指示主串中正待比較的字元
模式串t: ababa 用 j 指示子串中正待比較的字元
目標：對於給定的主串s=『
ababcababa
』 和模式串t='
ababa
'，判斷串t 是否在 串s中，如果在，返回起始位置。
想要實現該目標，有很多方法，本文只介紹兩種，即bf演算法和kmp演算法。
首先，讓我們完全從直覺出發，來認識一下最簡單的字串模式匹配演算法——bf演算法（又叫樸素的串匹配演算法）。
bf演算法是最笨的演算法，也是一看就懂的演算法。該演算法在有些情況下時間複雜度為o(n+m)，但是，在最壞的情況下，時間複雜度會飆公升到o(n*m)。但是，bf演算法也是理解kmp演算法的基礎。該演算法的主要思想是：從主串s的第乙個字元起，和模式串t中的第乙個字元比較，若相等，則繼續逐個比較後續的每個字元；否則就從主串的下乙個字元起再重新和模式串t比較。
再次強調一遍，i 指向主串，j 指向子串。
演算法的c語言**表示如下：
int index(const char* s, const char* t)
else
} if(j > t[0])
return i - t[0];
else
return -1;
}
我們可以看到，當乙個乙個字元比較，遇到不相同的字元時，bf演算法的做法是讓子串向右移動一位，然後重新子串頭部開始比較。
為了更清楚地看到bf演算法的缺陷，我們再來看乙個bf演算法的例子。
從該例子中可以看出，每次遇到不等的字元時，主串的「指標」i就要回退，而且子串每次也只是向右移動一位，這兩點導致bf演算法效率低至o(n*m)，令人髮指。
能不能換種方法，使得每次遇到不匹配的字元時，i呆在原地，不回退呢？同時，能不能想辦法讓子串每次向右移動的時候，在保證正確的情況下，子串盡量多 右移幾位呢？
答案是 可以（both）。這也正是kmp的做法。
我們在介紹kmp演算法之前，先回頭再研究一下bf演算法，看一下該演算法中遺漏掉了什麼有用的資訊。
如下圖所示，當匹配到字元a處時，顯然字元a與字元b不同，即串t匹配主串t失敗。這時，子串t要一位一位右移，每移動一位，都要重新從頭開始匹配。好，經歷千辛萬苦，終於，當下一次重新匹配到字元a處時（即b與c段完全相同），這時，先別著急著判斷問號處的字元和字元a是否相同。
我們來觀察一下這個狀態有什麼特殊之處。因為已經匹配到a處，所以之前的內容是完全相同的，即b與c段相同。之前，已經有c與a段相同了。哈哈，我們發現了，原來當右移重新匹配到上一次失敗點的時候，必有a與b段相同。
b段顯然是串t的乙個字首，而a段是失敗點之前的串的乙個字尾。為了不遺失可能正確的匹配結果，我們要再a與b第一次相同時就停止右移，即要保證a與b相同時，b的長度最大。
b是子串t的乙個字首，a是截止到b為止的子串t的乙個字尾，且a與b完全相同。
用官方的術語來說，就是尋找匹配失敗點之前的 subt的最長的字首和字尾相等的串。
好了，上面講了那麼多，就是為了這一句話。只有理解了上面這一句話，你才會心悅誠服地 理解並記憶kmp。
kmp演算法的整個流程就是：
1. 將s串和t串從第乙個字元開始匹配；
2. 如果匹配成功，則subt即灰色部分增加；
3. 如果不成功，則t向後滑動，使滑動後的subt的字首和滑動前的subt的字尾重合，再對問號處 進行匹配，如果還不成功，則再次滑動t，直到匹配成功或者t滑動到a處。
4. 如果到了a處，則從t串的起始位置進行匹配，跳至步驟1。
從上面的步驟可以知道，匹配失敗後，每次滑動到**，只與子串t本身有關，而與主串s沒有任何關係。所以，我們可以在匹配主串之前，先對子串t進行預處理，得到每個失敗點 應該向前滑行的位置，用乙個next陣列來儲存。這樣，以後每次匹配失敗，只用o(1)的時間查詢next陣列，直接將j指向那裡，再重新開始與主串失敗點處進行比較就ok了。
好了，理解了演算法的精髓，就一馬平川了。
我們假定，當比較到子串的第j個字元時，遇到了失敗點。
此時：我們假設此時主串s中的失敗點應該與子串t中的第k個字元繼續比較，顯然，k
有了next陣列，我們先假定next陣列已經求好了，那麼kmp演算法就是小菜一碟了。
int kmp(const char* s, const char* t)
//繼續比較後繼字元
else j = next[j]; //匹配失敗，模式串向右移動 }
if( j > t[0])
return i - t[0]; //匹配成功
else return 0;
}
子串中第1個字元到第j-1個字元都匹配成功，第j個字元匹配失敗，則要查詢next[j]。
記next[j] = k，則k表示子串中第j個字元與主串匹配失敗之後，應該將主串中的失敗點與子串中的第k個字元相比較。
也就是說，在子串第j個字元之前，存在如下關係：
並且k是滿足上述關係式的最大值。(k < j)
好的。下面我們用類似數學歸納法的方法，也就是遞推（不是遞迴）來求next陣列。
當next[j] = k時，我們來求next[j+1]。
存在兩種情況：
第一種情況很簡單，不多說了。
第二種情況，表明k也是失敗點，則我們仍要繼續取next[k]，然後比較next[k]處的字元是否與pj相等，如果相等，則next[j+1] = next[k] + 1，如果還是不等，則繼續向前迭代。直至到子串的開頭為止，即j==0為止。用c語言表述next陣列的求法如下所示：
void get_next(const char*t, int next)
else j = next[j];
}}
不過，用該方法求得的next陣列仍然有缺陷。我們舉個例子就一目了然了。
主串s： 'aaabaaaab'
模式串t： 『aaaab』
根據t可以得出next陣列為j1
2345
模式串aaa
abnext[j]01
234 再次強調一下，陣列的第乙個元素t[0]存放的是陣列t的長度。真正的元素從t[1]開始儲存。
我們看到，當i=4, j=4時，子串中t[4]a與主串的字元不匹配，則還要由next[j]的指示依次進行j=3, j=2, j=1這3次比較。但是，由於這四個字元也都相同，因此，假如j=4與主串i=4不匹配的話，就可以將子串一口氣向右滑動4個字元，直接進行i=5, j=1的比較。
即我們再給next陣列 遞推賦值的時候，next[i] = j，還要再判斷一下 t[i] 與 t[j] 是否相等。
因為正是由於子串t[i]與主串相比不符，失敗的情況下才查詢next[i]，如果此時next[i]仍然是同一字元，那麼比較肯定還是會失敗的，所以如果t[i] == t[j]，則next[i] = next[j].
修正後的next陣列求法c語言描述如下所示：
void get_next(const char*t, int next)
else j = next[j];
}}
2345
模式串taa
aabnext[j]01
234修改後next[j]00
004
至此為止，kmp演算法全部搞定。
演算法不容易理解，謹記之。
完全掌握KMP演算法思想
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