紙牌博弈問題

題目：有乙個整型陣列a，代表數值不同的紙牌排成一條線。玩家a和玩家b依次拿走每張紙牌，規定玩家a先拿，玩家b後拿，但是每個玩家每次只能拿走最左或最右的紙牌，玩家a和玩家b都絕頂聰明，他們總會採用最優策略。請返回最後獲勝者的分數。給定紙牌序列a及序列的大小n，請返回最後分數較高者得分數(相同則返回任意乙個分數)。

測試樣例：

[1,2,100,4],4

返回：101

解析：a和b都是絕頂聰明，他們每次拿元素時，肯定是按對自己最有力的方式拿。該題目先由最普通的遞迴解法，然後進行優化，到動態規劃。

遞迴方式，對陣列arr，元素數為n。

f(arr, l , r)表示對於陣列arr，元素從l到r，先拿可以達到的最大分數；

s(arr, l, r)表示對於陣列arr, 元素從l到r，後拿可以達到的最大分數。

對於f(arr, l, r)，先拿時，有兩種拿法，拿第乙個arr[l]，或最後乙個arr[r]；如果拿arr[l]，那麼剩餘的arr[l+1,....r]能拿到的最大分數為s(arr, l+1, r)，分數為arr[l] +s(arr, l+1, r)；如果拿arr[r]，剩餘的arr[l, ...r-1]能拿到的最大分數為s(arr, l, r-1)，分數為arr[r] + s(arr, l, r-1)，因為對於先拿後剩餘的陣列，當前人再拿的話是後拿的，然後取這兩種拿法較大的分數。

對於s(arr, l, r)，如果前乙個人先拿了arr[l]，則後拿的分數為f(arr, l+1, r)，如果前乙個人先拿了arr[r]，則後拿的分數為f(arr, l, r-1)，因為對於剩餘的元素來說，你是先拿的，取兩種方式的較小值才是s的值。（為什麼取較小值，而不是較大值？因為a和b都是絕頂聰明人，你是在另乙個絕頂聰明人之後才拿的，他給你剩下的肯定是較壞的情況）

遞迴實現的方式如下，可以再進行動態規劃方式的優化，接下來再講。

/* 返回較大值 */
int max(int a, int b)
/* 返回較小值 */
int min(int a, int b)
/* 對陣列arr，從l到r元素，先拿的最大分數 */
int f(int arr, int l, int r)
return max(arr[l] + s(arr, l+1, r), arr[r] + s(arr, l, r-1));
}/* 對陣列arr，從l到r元素，後拿的最大分數 */
int s(int arr, int l, int r)
return min(f(arr, l+1, r), f(arr, l, r-1));
}int findwinnerscore(int arr, int l, int r)

態規劃定義了兩個表f和s，f[i][j]表示arr[i...j]先拿的最大分數，s[i][j]表示arr[i...j]後拿的最大分數。最終比較f[0][n-1]和s[0][n-1]的值，返回較大的即可。

在遍歷填寫兩個表之前，我們可以對錶進行初始化。初始化後，可以按列進行遍歷，行從最後乙個開始，因為每個f[i][j]和s[i][j]的值都是由f[i+1][j]、f[i][j-1]或s[i+1][j]、s[i][j-1]得到的。

動態規劃的**如下：

int dp(int arr, int n)
/* 初始化 */
f[0][0] = arr[0];
s[0][0] = 0;
f[n-1][n-1] = arr[n-1];
s[n-1][n-1] = 0;
for (i = 1; i < n; i++)
for (i = 0; i < n-1; i++)
for (j = 1; j < n; j++)
else}}
return max(f[0][n-1], s[0][n-1]);
}

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