快速冪演算法:
所謂的快速冪,實際上是快速冪取模的縮寫,簡單的說,就是快速的求乙個冪式的模(餘)
。在程式設計過程中,經常要去求一些大數對於某個數的餘數,為了得到更快、計算範圍更大的演算法,產生了快速冪取模演算法。
我們先從簡單的例子入手:求= 幾。
演算法1.
首先直接地來設計這個演算法:
int ans = 1;
for(int i = 1;i<=b;i++)
ans = ans % c;
這個演算法的時間複雜度體現在for
迴圈中,為o(
b).這個演算法存在著明顯的問題,如果a和
b過大,很容易就會溢位。
那麼,我們先來看看第乙個改進方案:在講這個方案之前,要先有這樣乙個公式:
.這個公式大家在離散數學或者數論當中應該學過,不過這裡為了方便大家的閱讀,還是給出證明:
引理1:
上面公式為下面公式的引理,即積的取餘等於取餘的積的取餘。
證明了以上的公式以後,我們可以先讓a關於c
取餘,這樣可以大大減少
a的大小,
於是不用思考的進行了改進:
int ans = 1;
a = a % c; //加上這一句
for(int i = 1;i<=b;i++)
ans = ans % c;
聰明的讀者應該可以想到,既然某個因子取餘之後相乘再取餘保持餘數不變,那麼新算得的
ans也可以進行取餘,所以得到比較良好的改進版本。演算法3
:
int ans = 1;
a = a % c; //加上這一句
for(int i = 1;i<=b;i++)
ans = ans % c;
這個演算法在時間複雜度上沒有改進,仍為o(b),不過已經好很多的,但是在c
過大的條件下,還是很有可能超時,所以,我們推出以下的快速冪演算法。
快速冪演算法依賴於以下明顯的公式,我就不證明了。
有了上述兩個公式後,我們可以得出以下的結論:
1.如果b
是偶數,我們可以記
k = a2 mod c,那麼求(k)b/2 mod c就可以了。
2.如果b
是奇數,我們也可以記
k = a2 mod c,那麼求
((k)b/2 mod c ×
a ) mod c =((k)b/2 mod c * a) mod c 就可以了。
那麼我們可以得到以下演算法:
演算法4:
int ans = 1;
a = a % c;
if(b%2==1)
ans = (ans * a) mod c; //如果是奇數,要多求一步,可以提前算到ans中
k = (a*a) % c; //我們取a2而不是a
for(int i = 1;i<=b/2;i++)
ans = ans % c;
我們可以看到,我們把時間複雜度變成了o(b/2).當然,這樣子治標不治本。但我們可以看到,當我們令
k = (a * a) mod c
時,狀態已經發生了變化,我們所要求的最終結果即為
(k)b/2 mod c而不是原來的
ab mod c,所以我們發現這個過程是可以迭代下去的。當然,對於奇數的情形會多出一項a mod c
,所以為了完成迭代,當
b是奇數時,我們通過
ans = (ans * a) % c;來彌補多出來的這一項,此時剩餘的部分就可以進行迭代了。
形如上式的迭代下去後,當b=0
時,所有的因子都已經相乘,演算法結束。於是便可以在o(
log b
)的時間內完成了。於是,有了最終的演算法:快速冪演算法。
演算法5:快速冪演算法
int ans = 1;
a = a % c;
while(b>0)
將上述的**結構化,也就是寫成函式:
int powermod(int a, int b, int c)
return ans;
}
本演算法的時間複雜度為o(
logb
),能在幾乎所有的程式設計(競賽)過程中通過,是目前最常用的演算法之一。
以下內容僅供參考:
擴充套件:有關於快速冪的演算法的推導,還可以從另乙個角度來想。
=? 求解這個問題,我們也可以從進製轉換來考慮:
將10進製的b
轉化成2
進製的表示式:
那麼,實際上,.
所以注意此處的要麼為0
,要麼為
1,如果某一項,那麼這一項就是1
,這個對應了上面演算法過程中
b是偶數的情況,為
1對應了
b是奇數的情況
[不要搞反了,讀者自己好好分析,可以聯絡
10進製轉
2進製的方法
],我們從依次乘到。對於每一項的計算,計算後一項的結果時用前一項的結果的平方取餘。對於要求的結果而言,為時ans
不用把它乘起來,
[因為這一項值為
1],為
1項時要乘以此項再取餘。這個演算法和上面的演算法在本質上是一樣的,讀者可以自行分析,這裡我說不多說了,希望本文有助於讀者掌握快速冪演算法的知識點,當然,要真正的掌握,不多練習是不行的。
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