選主元的高斯-約當（gauss-jordan）消元法在很多地方都會用到，例如求乙個矩陣的逆矩陣、解線性方程組（插一句：lm演算法求解的乙個步驟），等等。它的速度不是最快的，但是它非常穩定（來自網上的定義：乙個計算方法，如果在使用此方法的計算過程中，捨入誤差得到控制，對計算結果影響較小，稱此方法為數值穩定的
），同時它的求解過程也比較清晰明了，因而人們使用較多。下面我就用乙個例子來告訴你gauss-jordan法的求解過程吧。順便再提及一些注意事項以及擴充套件話題。
對本文中所提到的「主元」等概念的解釋，可以參考此鏈結。
假設有如下的方程組：
寫成矩陣形式就是：ax=b，其中：
且x=(x1, x2, x3)t。
現對矩陣a作
初等變換
，同時矩陣b也作同樣的初等變換，則當a化為單位矩陣的時候，有：
顯而易見，我們得到了方程組的解x=(1, 2, 4)t。
所以，我們要以一定的策略，對a和b施以一系列的初等變換，當a化為單位矩陣的時候，b就為方程組的解。
選主元的g-j消元法通過這樣的方法來進行初等變換：在每乙個迴圈過程中，先尋找到主元，並將主元通過行變換（無需列變換）移動到矩陣的主對角線上，然後將主元所在的行內的所有元素除以主元，使得主元化為1；然後觀察主元所在的列上的其他元素，將它們所在的行減去主元所在的行乘以一定的倍數，使得主元所在的列內、除主元外的其他元素化為0，這樣就使得主元所在的列化為了單位矩陣的形式。這就是乙個迴圈內做的工作。然後，在第二輪迴圈的過程中，不考慮上一輪計算過程中主元所在的行和列內的元素，在剩下的矩陣範圍內尋找主元，然後（如果其不在主對角線上的話）將其移動到主對角線上，並再次進行列的處理，將列化為單位矩陣的形式。餘下的步驟依此類推。具體的計算過程的乙個例子，請看下面我舉的求逆矩陣的過程。
如果要解係數矩陣相同、右端向量不同的n個方程組，在設計程式的時候，沒有必要」解n次方程組「，我們完全可以在程式中，將所有的右端向量以矩陣的資料結構（類似於二維陣列）來表示，在係數矩陣作行變換的時候，矩陣裡的每乙個右端向量也做同樣的變換，這樣，我們在一次求解運算的過程中，實際上就是同時在解n個方程組了，這是要注意的地方。
那麼，g-j法為什麼可以用來求逆矩陣？
假設ax=e，其中，a為n階係數矩陣（與上面的解線性方程組對照）；e為單位矩陣，即e=(e1,e2,…,en)，其中ei (i=1,2,…,n) 為單位列向量；x為n個列向量構成的矩陣，即x=(x1,x2,…,xn)，其中xi (i=1,2,…,n) 為列向量。於是，可以把等式ax=e看成是求解n個線性方程組axi=ei (i=1,2,…,n)，求出了所有的xi之後，也即得到了矩陣x。而由ax=e可知，矩陣x是a的逆矩陣，即x=a-1。這樣，就求出了a的逆矩陣了。於是，求逆矩陣的過程被化成了解線性方程組的過程，因此我們可以用gauss-jordan消元法來求逆矩陣。
求逆矩陣時，係數矩陣a和單位矩陣e可以共用一塊儲存區，在每一次約化過程中，係數矩陣逐漸被其逆矩陣替代。
在這裡，我用乙個實際的例子來說明g-j法求逆矩陣的過程：
有如下的方程組：
顯而易見，該方程組對應的係數矩陣a和右端向量矩陣b（此處只有乙個右端向量）分別為：
其實在求逆矩陣的過程中，矩陣b無關緊要，可以忽略，不過此處還是把它寫出來了。下面，把單位矩陣e附在a的右邊，構成另乙個矩陣（a|e）：
下面，我們就通過矩陣的初等變換，將a化為單位矩陣e，而e則化為了a的逆矩陣。以下是轉化步驟：
現在，原來的矩陣a有一列被化為了單位陣的形式。
現在，原來的矩陣a又有一列被化為了單位陣的形式。
現在，原來的矩陣a的所有列都被化為了單位陣的形式。
可見，以上過程非常適合於計算機程式設計求解。
至此，我們完成了從a到e的轉換，這個過程中使用了選主元的方法，但沒有使用列交換。於是，原來的單位矩陣e就變成了a-1，即：
有人說，在進行轉化的過程中，如果某一步發現選中的主元為0，怎麼辦？當然，這種情況就進行不下去了（矩陣是奇異的）。
高斯 約當消元法（隨機程式，UVA 10828）
就是有一類題目 就是給你乙個圖，和乙個起始點 可以很抽象，比如uva 11762需要你自己建模。也可以很具體，比如就是乙個網格 然後每個節點都有一定概率轉移到另一些節點。具體解法就是 如果是有向無環圖就用動態規劃或者記憶化搜尋。否則就是高斯消元。本題就是高斯消元。然後如果使用高斯 約當消元法就可以省...
高斯消元法（n 3）順序，主元，約當
模板題目 順序高斯消元 拿列主元隨便改的 int n double a 111 111 ans 111 signed main rpp i,n cout cout for int i n i 1 i rpp i,n printf 2f n ans i cout return0 列主元消除法 加減消元...
約當標準型 特徵向量到約當標準型
線性變換及其矩陣表示和相似變換 給定一組有限維向量空間v的基，乙個線性變換t v v 的關於這組基的 矩陣分量 t i,j 定義為 t ej sigma i 1 to n,t i,j ei t 1,j e1 t 2,j e2 t n,j en 也就是說，這個線性變換把基向量ej變換成乙個新向量，它是...