大家知道，超限數（
transfinite
）集合論的核心概念。我們搞清除了超限數是怎樣發現的這個問題，實質上就等於搞清除了集合論是怎樣創立的。
在三維空間中，座標原點
o的直角座標是（
0,0,0
）。由此，我們可以推想，在無限維空間中，也有類似情況。回顧歷史，
19世紀的歐洲，三角級數是乙個非常熱門的研究領域。但是，三角級數收斂的關鍵問題是極限函式變現的唯一性，如果三角級數收斂的唯一性不能證明，整個現代數學必然是亂糟糟的了。
在當時情況下，許多知名數學家都知道上述問題是個「硬骨頭」，不敢問津。可是，在老師的建議下，在
1870
年，年僅二十出頭的「小毛頭」康托爾卻啃下了這塊「硬骨頭」！其優異的成績至今載入現代數學發展史冊。
有關三角級數的康托爾定理是：如果三角級數的和函式
f(x)
是零，那麼，該三角級數的各項係數均為零。由此，級數收斂唯一性迎刃而解。
進一步，康托爾設想，三角級數和函式的函式值不全為零，甚至，和函式的」非零點「是可數無限，但是，其「極限點」只有有限多個，此時三角級數收斂的唯一性仍然能夠成立。在證明過程中，康托爾發現，有的級數項的下標需要用「超限數」來表示，由此，康托爾萌生了引進「超限數」的念頭。
我們需要明白的是，現代集合論的建立不是康托爾個人的「靈感閃現」，空穴來風，而是數學發展的內部需求所致。康托爾不是神人。
說明：顧名思義，超限數就是超過所有的有限數的數字，而其後面還有其他後繼數字。超限數也是「數」，不是別的什麼東西。
袁萌 6月22
日
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