這幾天在看《統計學習方法》這本書，發現 梯度下降法 在 感知機 等機器學習演算法中有很重要的應用，所以就特別查了些資料。
一.介紹
梯度下降法（gradient descent）是求解無約束最優化問題的一種常用方法，有實現簡單的優點。梯度下降法是迭代演算法，每一步需要求解目標函式的梯度向量。
二.應用場景
1.給定許多組資料（xi, yi），xi （向量）為輸入，yi為輸出。設計乙個線性函式y=h（x）去擬合這些資料。
2.感知機：感知機（perceptron）為二類分類的線性分類模型。 輸入為例項的特徵向量，輸出為例項的類別， 取+1 和 -1 二值。
下面分別對這兩種應用場景進行分析。
1.對於第一種場景:
既然是線性函式，在此不妨設為 h(x) = w0*x0 + w1*x1。
此時我們遇到的問題就是如何確定w0和w1這兩個引數，即w=（w0，w1）這個向量。
既然是擬合，則擬合效果可以用平方損失函式：e(w)=∑ [ h(x)- y ] ^2 / 2 來衡量。
其中w是權重二維向量，x是輸入二維向量，x和y都是訓練集的資料，即已知。
至於後面除於2只是為了之後的推導過程中對e求導時候可以消除係數，暫時可以不管。
因此該問題變成了求e(w)最小值的無約束最優化問題
2.對於第二種場景:
假設輸入空間(特徵向量)為x，輸出空間為y = ,由輸入空間到輸出空間的如下函式
f(x) = sign(w · x + b) w∈rn 其中 w 叫做權值或者權值向量, b叫做偏振。w · x 表示向量w和x的點積
感知機sign(w · x + b)的損失函式為 l(w, b) = -∑yi(w · xi + b) x ∈m, m為誤分類點集合。
因此該問題變成了求l(w, b)最小值的無約束最優化問題
三.梯度下降方法
梯度其實就是高數求導方法，對e這個公式針對每個維數（w0，w1）求偏導後的向量▽e(w)=（∂e/∂w0,∂e/∂w1）
1. 對於第一種場景
對e這個公式針對每個維數（w0，w1）求偏導後的向量▽e(w)=（∂e/∂w0,∂e/∂w1）
梯度為最陡峭上公升的方向，對應的梯度下降的訓練法則為： w=w-η▽e(w) 這裡的η代表學習速率，決定梯度下降搜尋中的步長 。
上式的w是向量，即可用將該式寫成分量形式為:wi=wi-η*∂e/∂wi
現在關鍵就使計算∂e/∂wi：
推導過程很簡單，書上寫的很詳細，這裡只記錄結論(其實就是對目標函式求導):
∂e/∂wi=∑（h(x)-y）*(xi)
這裡的∑是對樣本空間，即訓練集進行一次遍歷，耗費時間較大，可以使用梯度下降的隨機近似：
2. 對於第二種場景
感知機學習演算法是誤分類驅動的，具體採用隨機梯度下降方法
▽wl(w, b) = -∑yixi
▽bl(w, b) = -∑yi
隨機選取乙個誤分類點（xi, yi), 對w, b進行更新：
w b
四.隨機梯度下降的隨機近似：
既然是隨機近似，則顧名思義，肯定是用近似方法來改善梯度下降時候的時間複雜度問題。
正如上所說，在∂e/∂wi=∑（h(x)-y）*(xi) 的時候∑耗費了大量的時間，特別是在訓練集龐大的時候。
所以肯定有人會猜想，如果把求和去掉如何，即變為∂e/∂wi=（h(x)-y）*(xi)。
幸運的是，猜想成立了。
只是要注意一下標準的梯度下降和隨機梯度下降的區別：
1.標準下降時在權值更新前彙總所有樣例得到的標準梯度，隨機下降則是通過考察每次訓練例項來更新。
2.對於步長 η的取值，標準梯度下降的η比隨機梯度下降的大。
因為標準梯度下降的是使用準確的梯度，理直氣壯地走，隨機梯度下降使用的是近似的梯度，就得小心翼翼地走，怕一不小心誤入歧途南轅北轍了。
3.當e（w）有多個區域性極小值時，隨機梯度反而更可能避免進入區域性極小值中。
四.**及例項：
1. 對於第一種場景
1 /*結果可以得出 w0=3，w1=4。2 * 隨機梯度下降實驗：
3 * 訓練集輸入為矩陣：
4 * 1,4
5 * 2,5
6 * 5,1
7 * 4,2
8 * 輸出結果為：
9 * 19
10 * 26
11 * 19
12 * 20
13 * 需要引數為 w：
14 * ？
15 * ？
16 *
17 * 目標函式:y=w0*x0+w1*x1;
18 *
19 * */
20 #include21 #include 22 intmain()
23 ,,,};
25 double result[4]=;
26 double w[2]=;//初始為零向量
27 double loss=10.0;
28 const double n = 0.01; //步長
29 for(int i=0;i<100&&loss>0.001;i++)
30 39 error_sum = h -result[j];
40 for(int k=0;k<2;k++)
41 44 }
45 printf("%lf,%lf\n",w[0],w[1]);
46 double loss=0;
47 for(int j=0;j<4;j++)
48 54 loss += (sum - result[j]) * (sum-result[j]);
55 }
56 printf("%lf\n",loss);
57 }
58 59 system("pause");
60 return 0;
61 }
1. 對於第二種場景
1 /*結果可以得出 w0=1，w1=1， b = -3 。2 * 基於感知機的隨機梯度下降實驗： 《統計學習方法》- p29-例2.1
3 * 訓練集輸入為矩陣：
4 * 3,3
5 * 4,3
6 * 1,1
7 * 輸出結果為（表示例項的分類）：
8 * 1
9 * 1
10 * -1
11 * 需要引數為 w：
12 * ？
13 * ？
14 *
15 * 目標函式:y = w0 * x0 + w1 * x1 + b;
16 *
17 * */
18 #include19 #include 20 intmain()
21 ,,};
23 double y[4]=;
24 double w[2]=;//初始為零向量
25 double b = 0;
26 intj;
27 const double n = 1; //步長
28
29 while(1)
30 36 if(j < 3)
37 42 else
43 break;
44 printf("%d :%lf,%lf %lf\n", j, w[0], w[1], b);
45
46 }
47 48 system("pause");
49 return 0;
50 }
參考：1.
2. 李航 統計學習方法
梯度下降方法
這幾天在看 統計學習方法 這本書，發現 梯度下降法 在 感知機 等機器學習演算法中有很重要的應用，所以就特別查了些資料。一.介紹 梯度下降法 gradient descent 是求解無約束最優化問題的一種常用方法，有實現簡單的優點。梯度下降法是迭代演算法，每一步需要求解目標函式的梯度向量。二.應用場...
梯度下降方法
簡介 梯度下降法是最小化目標函式j 的一種方法，旨在降低真實值和 值之間的誤差，其中 rd為模型引數。梯度下降法利用目標函式計算引數梯度 j 的反方向更新引數。學習率 learning rate 決定達到最小值或者區域性最小值過程中所採用的的步長大小，即，我們沿著目標函式的斜面下降的方向，直到到達谷...
梯度下降 隨機梯度下降 批梯度下降
下面的h x 是要擬合的函式，j 損失函式，theta是引數，要迭代求解的值，theta求解出來了那最終要擬合的函式h 就出來了。其中m是訓練集的記錄條數，j是引數的個數。梯度下降法流程 1 先對 隨機賦值，可以是乙個全零的向量。2 改變 的值，使j 按梯度下降的方向減少。以上式為例 1 對於我們的...