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fp-tree演算法
fptree演算法：在不生成候選項的情況下，完成apriori演算法的功能。
fptree演算法的基本資料結構，包含乙個一棵fp樹和乙個項頭表，每個項通過乙個結點鏈指向它在樹中出現的位置。基本結構如下所示。需要注意的是項頭表需要按照支援度遞減排序，在fptree中高支援度的節點只能是低支援度節點的祖先節點。
另外還要交代一下fptree演算法中幾個基本的概念：
fp-tree：就是上面的那棵樹，是把事務資料表中的各個事務資料項按照支援度排序後，把每個事務中的資料項按降序依次插入到一棵以null為根結點的樹中，同時在每個結點處記錄該結點出現的支援度。
條件模式基：包含fp-tree中與字尾模式一起出現的字首路徑的集合。也就是同乙個頻繁項在pf樹中的所有節點的祖先路徑的集合。比如i3在fp樹中一共出現了3次，其祖先路徑分別是，和。這3個祖先路徑的集合就是頻繁項i3的條件模式基。
條件樹：將條件模式基按照fp-tree的構造原則形成的乙個新的fp-tree。比如上圖中i3的條件樹就是：
1、 構造項頭表：掃瞄資料庫一遍，得到頻繁項的集合f和每個頻繁項的支援度。把f按支援度遞降排序，記為l。
2、 構造原始fptree：把資料庫中每個事物的頻繁項按照l中的順序進行重排。並按照重排之後的順序把每個事物的每個頻繁項插入以null為根的fptree中。如果插入時頻繁項節點已經存在了，則把該頻繁項節點支援度加1；如果該節點不存在，則建立支援度為1的節點，並把該節點鏈結到項頭表中。
3、 呼叫fp-growth(tree，null)開始進行挖掘。偽**如下：
procedure fp_growth(tree, a)
iftree 含單個路徑pthen else
}
fp-growth是整個演算法的核心，再多囉嗦幾句。
fp-growth函式的輸入：tree是指原始的fptree或者是某個模式的條件fptree，a是指模式的字尾（在第一次呼叫時a=null，在之後的遞迴呼叫中a是模式字尾）
fp-growth函式的輸出：在遞迴呼叫過程中輸出所有的模式及其支援度（比如的支援度為2）。每一次呼叫fp_growth輸出結果的模式中一定包含fp_growth函式輸入的模式字尾。
我們來模擬一下fp-growth的執行過程。
1、 在fp-growth遞迴呼叫的第一層，模式前後a=null，得到的其實就是頻繁1-項集。
2、 對每乙個頻繁1-項，進行遞迴呼叫fp-growth()獲得多元頻繁項集。
下面舉兩個例子說明fp-growth的執行過程。
1、i5的條件模式基是(i2 i1:1), (i2 i1 i3:1)，i5構造得到的條件fp-樹如下。然後遞迴呼叫fp-growth，模式字尾為i5。這個條件fp-樹是單路徑的，在fp_growth中直接列舉的所有組合，之後和模式字尾i5取並集得到支援度》2的所有模式：。
2、i5的情況是比較簡單的，因為i5對應的條件fp-樹是單路徑的，我們再來看一下稍微複雜一點的情況i3。i3的條件模式基是(i2 i1:2), (i2:2), (i1:2)，生成的條件fp-樹如左下圖，然後遞迴呼叫fp-growth，模式字首為i3。i3的條件fp-樹仍然是乙個多路徑樹，首先把模式字尾i3和條件fp-樹中的項頭表中的每一項取並集，得到一組模式，但是這一組模式不是字尾為i3的所有模式。還需要遞迴呼叫fp-growth，模式字尾為，的條件模式基為，其生成的條件fp-樹如右下圖所示。這是乙個單路徑的條件fp-樹，在fp_growth中把i2和模式字尾取並得到模式。理論上還應該計算一下模式字尾為的模式集，但是的條件模式基為空，遞迴呼叫結束。最終模式字尾i3的支援度》2的所有模式為：
本人新增備註說明：對於上面的例子，呼叫tree_growth(fp_tree,null)函式過程如下：
由於fp_tree包含多支，遍歷頭表：tree_growth(tree_i2,i2), tree_growth(tree_i1,i1), tree_growth(tree_i3,i3), tree_growth(tree_i4,i4), tree_growth(tree_i5,i5)
tree_growth(tree_i2,i2) 中i2的支援度是7，tree_i2的條件模式基為空，所以只產生乙個頻繁模式
tree_growth(tree_i1,i1)中i1的支援度是6，tree_i2的條件模式基為，所以遍歷所有可能的子集合後產生頻繁模
tree_growth(tree_i4,i4),
tree_growth(tree_i5,i5) 類似，
這裡重點講一下tree_growth(tree_i3,i3)：
tree_growth(tree_i3,i3)中i3的支援度是6，tree_i2的條件fp樹為,，接著呼叫tree_growth(tree_i3^i1,i3^i1) 其中i3^i1計數為4 ，和tree_growth(tree_i3^i2,i3^i2) 其中i3^i2計數為4
tree_growth(tree_i3^i1,i3^i1) 的條件模式基為，產生頻繁模式，
tree_growth(tree_i3^i2,i3^i2) 的條件模式基為空
，產生頻繁模式
根據fp-growth演算法，最終得到的支援度》2頻繁模式如下：
item
條件模式基
條件fp-樹
產生的頻繁模式
i5i4
i3i1
, i2 i5:2, i1 i5:2, i2 i1 i5:2
i2 i4:2
i2 i3:4, i1 i3:4, i2 i1 i3:2
i2 i1:4
fp-growth演算法比apriori演算法快乙個數量級，在空間複雜度方面也比apriori也有數量級級別的優化。但是對於海量資料，fp-growth的時空複雜度仍然很高，可以採用的改進方法包括資料庫劃分，資料取樣等等
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