最大流之Ford Fulkerson演算法

參考：《演算法導論》第26章最大流

網路流性質：

1)除了源節點和終結點外，物料在其他節點上只是流過，並不積累或聚集，即物料進入乙個節點的速率必須與其離開該節點的速率相等。這個性質稱為流量守恆。

2)網路流g=(v,e)是乙個有向圖，圖中每條邊(u,v)有乙個非負的容量值c(u,v)>=0.而且，如果邊集合e包含一條邊(u,v)，則圖中不存在反向的邊(v,u)。

當存在多個源節點和匯節點時，最大流問題並不比普通的最大流更難，可以規約為乙個普通的最大流問題，轉換的方法是加入乙個超級源節點s，並對於i=1,2,…m,加入有向邊(s,si)和容量c(s,si)=無窮。我們同時建立乙個新的超級匯節點，對於i=1,2,…n,加入有向邊(ti,t)，其容量為c(ti,t)=無窮。

ford-fulkerson方法：

主要思想：殘存網路、增廣路徑和切割。最大流最小切割定理等。

殘存網路：如果一條邊(u,v)在e中，那麼殘存網路中的cf(u,v)=c(u,v)-f(u,v)，且cf(v,u)=f(u,v)，其他的情況，cf(u,v)=0，這是用來構成殘存網路的主要的公式，物理意義：如果(u,v)在e中，則cf(u,v)表示還能從u到v增大多少流量，cf(v,u)表示可以從u到v減少多少流量。

增廣路徑：用p表示，是殘存網路中一條從源節點s到匯節點t 的簡單路徑。

最大流最小切割定理：設f為網路g=(v,e)中的乙個流，該流網路的源節點為s，匯節點為t，則下面的條件是等價的：

1)f是g的乙個最大流

2)殘存網路gf不包括任何增廣路徑

3)|f|=c(s,t),其中(s,t)是流網路g的某個切割。

複雜度：o(e|f*|)，f*表示轉換後的乙個最大流。

如果採用廣度優先遍歷來尋找增廣路徑，則執行時間為o(ve^2)

**：


#ifndef __graphmatrix__
#define __graphmatrix__
#include#include#includeusing namespace std;
struct vertex
bool operator<(const vertex &a)const
int insertvertex(vertex & v);
void insertedge(vertex from,vertex to,edge e,bool doubleside=true);
void fordfulkerson(vertex s,vertex t);
};#endif


#include"graphmatrix.h"
#includeusing namespace std;
int graphmatrix::insertvertex(vertex & v)
void graphmatrix::fordfulkerson(vertex s,vertex t)
curr=end;
p=v[curr].parent;
while(p!=-1)
else
curr=p;
p=v[curr].parent;
}	}}

測試**：

#include#include"graphmatrix.h"

#include#includeusing namespace std;

#define debug

int main()

{#ifdef debug

freopen("input.txt","r",stdin);

#endif

graphmatrix gm;

char from,to;

int e;

//測試邊和頂點的插入

cout<<"輸入邊"<>from>>to>>e)

{ cout<<"輸入邊"<

a b 16

a c 13

c b 4

b d 12

d c 9

c e 14

e d 7

d f 20

e f 4

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