我們知道，對長度為n的陣列，如果我們要改變其中某個值，則時間複雜度為o(1)。如果要求出s[m]=a[1]+a[2]+.....+a[m]，則需要o(m)的時間複雜度。若我們一邊修改陣列的值，一邊要求求出其部分和s[m]，使用一般的方法，時間複雜度是o(m*n)的，若m和查詢次數n很大，那麼該演算法將不可取。
為了解決這個問題，出現了樹狀陣列這一資料結構。它可以以o(log n)的時間複雜度修改陣列中的值，同時以o(log n)的時間複雜度求部分和。這裡的log是以2為底的。
1、基本結構
樹狀陣列可以簡單地用下面的圖理解：
可以看到，c[1]「管轄」乙個元素，而c[2],c[6]「管轄」2個元素，c[8]「管轄」8個元素。那麼c[n]「管轄」多少個元素呢？在樹狀陣列中，這是個重要的概念。我們規定，把n轉換為二進位制，最右側0的個數為k，則它管轄的元素個數就是2^k個。如2的二進位制位10,2^1=2。4的二進位制為100，2^2=4。定義函式lowbit(n)=2^k。那麼c[n]管轄了lowbit[n]個元素。根據這樣的定義，你就可以自己畫出更大範圍的樹狀陣列了。
2、樹狀陣列的求和過程及其原理
假設c陣列已經初始化好了。如何利用它來求和呢？
舉個例子。
我們要求s[6]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]
先令s=c[6]=a[5]+a[6]，注意到lowbit(6)=2，現在的s中只有兩個數的和。所以我們還求6-lowbit(6)=4個數的和。這時找到c[4]，s=s+c[4]，lowbit(4)=4。這時我們已經求了2+4=6個數的和了，所以s就是答案。
可能上面的過程表達的還是不太清楚。我們用乙個程式段來更好地表達這個過程：
int sum(int k)為什麼可以這樣做？且為什麼這樣做的複雜度是log級別的？下面再深入解釋下原理：
注意觀察，其實每次每次讓i=i-lowbit(i)，都減去了i二進位制中最右邊的乙個1！而i的二進位制中最多有log i個1，因此時間複雜度是log級的。
這樣做的正確性在於：把求s[k]轉換成求幾段和的累加，而「分段」是以k的二進位制中的1來決定的。
聽起來有點拗口，我們還是用乙個具體的例子解釋。
比如求s[105]，105的二進位制是1101001。首先s+=c[105]，注意到lowbit(105)=1，這樣就減去了1101001中最右邊的1。1101001-1=1101000。1101000是104的二進位制。下面s+=c[104]，lowbit(104)=8,104-8=96。96的二進位制是1100000。這就減去了右邊第二個1。下面s+=c[96],lowbit(96)=32,96-32=64.64的二進位制是1000000，這就減去了右邊第三個1。最後s+=c[32]結束。
整個求和過程i的變化就是1101001->1101000->1100000->1000000->0.
3、樹狀陣列的初始化
初始化c陣列有兩種方法。
一種是利用sum函式，c[n]=a[n]+sum(n-1)-sum(n-lowbit(n))，這很好理解。
還有一種是利用以下的程式段：
void init()
}
4、樹狀陣列對值的修改。
若修改陣列中的乙個值，則c陣列需要做相應修改。我們每次往上找父節點就行了，時間複雜度也是log級的。
void modify(int x,int v)注意寫樹狀陣列的時候，最好把陣列下標定為1..n，而不是0..n-1，這樣有利於程式設計方便！
6、參考程式
#include#includeint n,a[10001],c[10001],m,t,x,y,v;
int lowbit(int x)
int sum(int k)
void modify(int x,int v)
void init()
}int main()else
} return 0;
}
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無意間看到樹狀陣列，查了很多資料被各種圖和公式繞暈了，下面記錄一點個人理解。假設陣列a 0 a 1 a 2 a n 記0 m元素之和為sum m 0 當我們頻繁的求s m 時，第一種方法不適用，當我們頻繁的修改陣列a時，第二種方法每次都要修改陣列s，修改陣列s的時間複雜度為o n 而樹狀陣列可以很好...
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