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拓撲學的具體用處是什麼，我並不是很清楚。在幾何的應用領域，我的淺顯理解是抽象幾何。它的具體用處我現在這裡留下問題吧，等學完它的一些性質之後再來作答了。學拓撲學的原因是因為我要理解學習jonathan richard shewchuk的********：分治法中三角形的幾何資訊和拓撲資訊的操作中提到的文獻二。所以暫且不管它用處是啥了，先能看懂文獻二。
通過對拓撲學中連續對映的一些性質和命題的證明和推理，能夠對拓撲學中的一些基本概念和性質有乙個比較好的理解和靈活的運用。
命題1設f: x->y是一對映，a是x的子集，x∈a。記
（1）如果f在x連續，則
（2）若a是x的領域，則當
證明（1）設v是
（2）設v是f(x)的領域，根據條件存在a中的開集
對拓撲學的基本概念不太了解的人可能會對這兩個證明不是很了解。我現在來推理這兩個證明。
在推理這兩個證明之前需要了解連續的定義，領域和開集的概念和包含關係，和子空間的性質。
連續的定義設x和y都是拓撲空間，f: x->y是乙個對映，x∈x。如果對於y中f(x)的任一鄰域v，
鄰域的定義設a是拓撲空間x的乙個子集，點x∈a。如果存在開集u，使得x∈u⊂a，則稱x是a的乙個內點，a是x的乙個鄰域。a的所有內點的集合稱為a的內部，記作°a（或a°）。
°a是包含在a中的所有開集的並集，因此是包含在a中的最大開集。
很明顯，鄰域包含開集。
閉包的定義設a是拓撲空間x的子集，x∈x。如果x的每個鄰域都含有a\中的點，則稱x為a的聚點。a的所有聚點的集合稱為a的導集，記作a'。稱集合
子空間的定義設a是拓撲空間
以後對拓撲空間的子集都將看做拓撲空間，即子空間。
設x是拓撲空間，c⊂a⊂x，則a與x的乙個閉集的交集是a的閉集，a與x的乙個開集的交集是a的開集。
有了這些概念，下面來推理這兩個證明。
推理證明（1），在這個證明中主要要理解的是
推理證明（2），根據條件a是x的鄰域，則可知x是a的乙個內點，x屬於內部°a，因為°a是包含在a內的最大的開集，所以根據拓撲公理三，u∩°a也是x的開集，也即得證。
文獻[1] 尤承業，《基礎拓撲學講義》，北京大學出版社，1997.
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