二叉排序樹

1.二叉排序樹的概念:

二叉排序樹是一種動態樹表。

二叉排序樹的定義：二叉排序樹或者是一棵空樹，

或者是一棵具有如下性質的二叉樹：

⑴ 若它的左子樹非空，則左子樹上所有結點的值均小於根結點的值；

⑵ 若它的右子樹非空，則右子樹上所有結點的值均大於根結點的值；

⑶ 左、右子樹本身又各是一棵二叉排序樹。二叉排序樹的性質：按中序遍歷二叉排序樹，所得到的中序遍歷序列是乙個遞增有序序列

2.二叉排序樹的插入:

在二叉排序樹中插入新結點，要保證插入後的二叉樹仍符合二叉排序樹的定義。

插入過程：若二叉排序樹為空，則待插入結點*s作為根結點插入到空樹中；

當非空時，將待插結點關鍵字s->key和樹根關鍵字t->key進行比較，

若s->key = t->key,則無須插入，若s->key< t->key,則插入到根的左子樹中，

若s->key> t->key,則插入到根的右子樹中。而子樹中的插入過程和在樹中的插入過程相同，

如此進行下去，直到把結點*s作為乙個新的樹葉插入到二叉排序樹中，或者直到發現樹已有相同關鍵字的結點為止。

3. 二叉排序樹生成：

從空的二叉排序樹開始，經過一系列的查詢插入操作以後，生成了一棵二叉排序樹。

說明：① 每次插入的新結點都是二叉排序樹上新的葉子結點。

② 由不同順序的關鍵字序列，會得到不同二叉排序樹。

③ 對於乙個任意的關鍵字序列構造一棵二叉排序樹，其實質上對關鍵字進行排序。

4.二叉排序樹查詢的程式實現:

#include

#include

#include

typedef struct bitnodebtnode,btree;

//二叉排序樹的查詢非遞迴演算法

//在二叉排序樹t中查詢關鍵字為key的元素，若找到返回true,

//否則返回false.

bool searchbst(btree *t,int key)

return false;

}//二叉排序樹的查詢遞迴演算法

//在二叉排序樹t中查詢關鍵字為key的元素，若找到返回true,

//否則返回false.

bool searchbst2(btree *t,int key)

//建立二叉排序樹

//當二叉排序樹t中不存在關鍵字為key的元素時，插入key,並返回樹的根，

//否則不插入,並返回樹的根。

btree* insertbst(btree *t,int key)

p=(btnode*)malloc(sizeof(btnode));

p->data=key;

p->lchild=p->rchild=null;

if(t==null)

t=p;

else

if (keydata)

f->lchild=p;

else

f->rchild=p;

return t;

}//遞迴中序遍歷

void inorderdisplay(btree *t)

}//test:

int main()

inorderdisplay(tree);

bool find=searchbst2(tree,24);

cout<5. 二叉排序樹的刪除:

假設被刪結點是*p，其雙親是*f，不失一般性，設*p是*f的左孩子，下面分三種情況討論：

⑴ 若結點*p是葉子結點，則只需修改其雙親結點*f的指標即可。

⑵ 若結點*p只有左子樹pl或者只有右子樹pr，則只要使pl或pr 成為其雙親結點的左子樹即可。

⑶ 若結點*p的左、右子樹均非空，先找到*p的中序前趨結點*s（注意*s是*p的左子樹中的最右下的結點，它的右鏈域為空），然後有兩種做法：

① 令*p的左子樹直接鏈到*p的雙親結點*f的左鏈上,而*p的右子樹鏈到*p的中序前趨結點*s的右鏈上。

② 以*p的中序前趨結點*s代替*p（即把*s的資料複製到*p中），將*s的左子樹鏈到*s的雙親結點*q的左（或右）鏈上

。(在下面的演示演算法中用的就是此方法)

6. 刪除演算法演示 :

//刪除二叉排序樹中的乙個節點

//在二叉排序樹t中刪除關鍵字為key的結點

void delbst(btree *t,int key)

if(!p) return;//

二叉排序樹中無關鍵字為key的結點

if(p->lchild==null&&p->rchild==null)

else if(p->lchild==null&&p->rchild!=null)//p無左子樹有右子樹

else if(p->rchild==null&&p->lchild!=null)//p有左子樹無右子樹

else if(p->lchild!=null&&p->rchild!=null)//p既有左子樹又有右子樹

p->data=s->data;//以p的中序前趨結點s代替p（即把s的資料複製到p中）

if(q!=p) q->rchild=s->lchild;//重接q的右子樹

else q->lchild=s->lchild;//重接q的左子樹。

free(s);}}

7. 二叉排序樹的查詢:

在二叉排序樹中進行查詢的過程和二分查詢類似，也是乙個逐步縮小查詢範圍的過程。若查詢成功，則是走了一條從根結點到待查結點的路徑；若查詢失敗，則是走了一條根結點到某個葉子結點的路徑。因此，查詢過程中和關鍵字比較的次數不超過樹的深度。

由於含有n個結點的二叉排序樹不唯一，形態和深度可能不同。故含有n個結點的二叉排序樹的平均查詢長度和樹的形態有關。

最好的情況是：二叉排序樹和二叉判定樹形態相同。

最壞的情況是：二叉排序樹為單支樹，這時的平均查詢長度和順序查詢時相同。

最壞情況示例

就平均效能而言，二叉排序樹上的查詢和二分查詢相差不大，並且二叉排序樹上的插入和刪除結點十分方便，無須大量移動結點

二叉排序樹

二叉排序樹

二叉排序樹

二叉排序樹

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