字串匹配 KMP演算法

關於kmp演算法的分析，我覺得這兩篇部落格寫的不錯：

下面的筆記也是參考了這兩篇部落格的。

kmp演算法是最有名的字串匹配演算法了。它是bf演算法

的改進版，至於是如何改進的，先引用上述第二篇部落格裡的一段話：

「在繼續分析之前，咱們來思考這樣乙個問題：為什麼快排或者堆排序比直接的選擇排序快？直接的選擇排序，每次都是重複地比較數值的大小，每掃瞄一次，只得出乙個最大（小值），再沒有其它的成果。而快排，每掃一次，將資料分成了兩部分，右邊的資料都大於左邊的資料，所以在下一次比較的時候，這兩部分元素之間就不用比較了。再看堆排序，建堆的過程也是o(n)的比較，但比較的結果得到了最大（小）堆這種三角關係，之後的比較就不用再每乙個都需要比較了。

由上述思考，咱們總結出了一點優化的歸律：採用一種簡單的資料結構或者方式，將每次重複性的工作得到的資訊記錄得盡量多，方便下一次做同樣的工作，這樣將帶來一定的優化。」

總結上面這段話的核心思想，就是把迴圈中要重複做的工作提取到迴圈外完成，從而提高效率。

下面用乙個例子演示kmp匹配的過程。其中涉及的三個資料如下：

source：源串，即要匹配的母船

pattern：模式串，即子串

next陣列：其每個元素對應pattern的每個字元，表示當該字元pattern[j]不匹配source[i]時，應該從pattern的哪個下標開始重新匹配當前的source[i]，具體求法後面介紹

本例中source為abcabcabde，pattern為abcabd，第一次匹配，前5個字元均匹配成功，匹配第6個字元時如下：

此時發現source[5]和pattern[5]不匹配，bf演算法的做法是從source[1]開始從新匹配pattern，即像下面這樣：

而kmp演算法則不會再去重新比較source[1...4]了，它會利用next的資訊調整pattern。因為next[5]=2，所以下一次匹配將當前的source[5]和pattern[2]比較，即像下面這樣：

這時發現source[5]和pattern[2]匹配，繼續往下比較，直至pattern中所以元素都比較完了，如下：

此時已經在母串中找到了子串，i=9，m=6，所以返回的下標為i-m=3。

這樣整個匹配過程就完了，感覺不過癮嗎，前面兩篇推薦的部落格裡有更長的匹配串分析。

把上面的過程翻譯成**，也就是kmp演算法的實現，如下：

int kmp(char *source, char *pattern)
else
}free(next);
if (j == m)
else
}

下面來看next陣列是如何求得的。

如前所述，next陣列裡儲存的就是pattern[j]與母串中的字元不匹配時，該用哪個下標繼續和這個字元匹配。若next[j]=k，則有：pattern[0...k-1] = pattern[j-k...j-1],而且這個k是最大的，即不會有pattern[0...k] =pattern[j-k-1...j-1]。

反過來想，如果已經知道了pattern[0...k-1] = pattern[j-k...j-1]，next[j]是多少呢？要分兩種情況考慮：

1. pattern[k] != pattern[j]，則next[j] = k

2. pattern[k] = pattern[j]，則next[j] = next[k]

第二種情況是因為，若pattern[k] = pattern[j]時，也使next[j]=k；則在pattern[j]於母串不匹配的情況下，再拿pattern[next[j]]即pattern[k]去比較的話，肯定也是不匹配的。這是隱藏的重複工作。使next[j] = next[k]就能避免這種重複工作。

那麼怎麼又能保證pattern[j]不會等於pattern[next[k]]呢？不急，一步一步想：最開始有next[0]=-1，如果pattern[1]=pattern[0]，那麼由規則2，next[1]=next[0]=-1；再如果pattern[2]=pattern[1]，那麼next[2]=next[1]=-1。看到了嗎，三個一樣的字元，如果是next依次為前乙個元素的情況，最終都會是最前面那個next值，這就保證了最大的減少重複工作。

好吧，上面的解釋很挫，意會吧。其實就跟離散樹一樣，同乙個集合的元素都有相同的根。

有了上面的規則後，求next陣列就比較方便了。用動態規劃的策略很好實現：

void next(char *pattern, int *next)
else
}else}}

是不是感覺和kmp的框架很像，其實就是一回事，都是子串匹配，都利用了next陣列。

不同之處在於：kmp是source匹配pattern，next是一直從pattern的頭部開始匹配後面所有的序列；在next裡面，next陣列還沒有完全生成，是利用前面生成的next加上匹配結果生成下乙個next，這就是動規的策略。

字串匹配 KMP演算法

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