斷斷續續的學習數論已經有一段時間了，學得也很雜，現在進行一些簡單的回顧和總結。
學過的東西不能忘啊。。。
1、本原勾股數：
概念：乙個三元組(a,b,c)，其中a,b,c沒有公因數而且滿足：a^2+b^2=c^2
首先，這種本原勾股數的個數是無限的，而且構造的條件滿足：
a=s*t,b=(s^2-t^2)/2,c=(s^2+t^2)/2
其中s>t>=1是任意沒有公因數的奇數！
由以上概念就可以匯出任意乙個本原勾股陣列。
2、素數計數（素數定理）
令π(x)為1到x中素數的個數
19世紀最高的數論成就就是以下這個玩意兒：
lim(x->∞)=1
數論最高成就，最高成就！！！有木有！！！
3、哥德**猜想(1+1)
乙個大偶數(>=4)必然可以拆分為兩個素數的和，雖然目前還沒有人能夠從理論上進行證明，不過我根據科學家們利用計算機運算的結果，如果有乙個偶數不能進行拆分，那麼這個偶數至少是乙個上百位的數！！
所以在acm的世界中（資料量往往只有2^63以下）哥德**猜想是成立的！！所以拆分程式一定能夠實現的
4、哥德**猜想的推廣
任意乙個》=8的整數一定能夠拆分為四個素數的和
證明：先來說8=2+2+2+2，（四個最小素數的和）不能再找到比2小的素數了，所以當n小於8，就一定不可能拆分為四個素數的和！
那麼當n大於等於8，可以分情況討論：
（1）n&1==0(n為偶數)，那麼n就一定可以拆分為兩個偶數的和
那麼根據哥德**猜想，偶數可以拆分為兩個素數的和，於是，n一定可以拆分為四個素數的和
（2）n&1==1(n為奇數)，n一定可以拆分為兩個偶數+1
由於有乙個素數又是偶數，2，那麼奇數一定有如下拆分：2+3+素數+素數
得證。5、尤拉函式（尤拉公式）
尤拉函式ph(n)的意思是所有小於n且與n互質的數的個數
比如說ph(12)=4,[1,5,7,11與12互質]
尤拉公式
a^ph(m)=1(mod m)
6、費馬小定理
費馬小定理是尤拉公式的一種特殊情況
由於當p為質數的時候ph(p)=p-1這是顯然的
那麼帶入尤拉公式就得到了費馬小定理
a^(p-1)=1(mod p)
p為質數(prime)
7、抽屜原理
抽屜原理其實是廢話，關鍵在於運用
這句廢話是說，如果現在有3個蘋果，放進2個抽屜，那麼至少有乙個抽屜裡面會有兩個蘋果，這個很廢話。
8、抽屜原理的運用
抽屜原理本身只是一句廢話，不過他的運用卻非常強大
現在假設有乙個正整數序列a1,a2,a3,a4.....an，試證明我們一定能夠找到一段連續的序列和，讓這個和是n的倍數，該命題的證明就用到了抽屜原理
我們可以先構造乙個序列si=a1+a2+...ai
然後分別對於si取模，如果其中有乙個sk%n==0，那麼a1+a2+...+ak就一定是n的倍數（該種情況得證）
下面是上一種情況的反面，即任何乙個sk對於n的餘數都不為0
對於這種情況，我們可以如下考慮，因為si%n!=0
那麼si%n的範圍必然在1——（n-1），所以原序列si就產生了n個範圍在1——（n-1）的餘數，於是抽屜原理就來了，n個數放進n-1個盒子裡面，必然至少有兩個餘數會重複，那麼這兩個sk1,sk2之差必然是n的倍數，
而sk1-sk2是一段連續的序列，那麼原命題就得到了證明了
9、判斷n!是否能夠被m整除
計算方法是把m進行質因數分解，看下m的每乙個質因數是否能夠在n!中找到；
n!中間包含了多少個x(x是任意的乙個數，不過一般情況下我們都只討論x為質數)，這種問題的答案是：
n/x+n/(x^2)+n/(x^3).....[一直加到x的乘方不超過n]，這個定理的證明也非常的簡單，這裡就不再贅述了
根據以上觀點，就可以分別計算m的每乙個質因數是否被完全包含，如果有乙個沒有被包含，那麼就不能被整除！
10、因子和的計算方法
神馬叫因子和：乙個數的所以因子的和就叫因子和。。。
好吧，舉個例子：12的因子和為：1+2+3+4+6+12
計算方法是把12分解為質因數的表達形式2^2*3
那麼他的因子和就是：(1+2+2^2)*(1+3)
證明寫起來比較麻煩，大體上思路就是牛頓二項式。。。
11、判斷組合數c(n,m)的奇偶性
有乙個我也不知道證明的方法
當n&m==m為奇數，反之就是偶數
就總結到這兒了。
以前大一也總結過一片類似的，不過那時候之總結了一點關於歐幾里得演算法之類的。
——bingshen
ACM數論總結
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