分類： 母函式
2012-08-12 20:33
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c2010生活
在數學中，某個序列的母函式是一種形式冪級數，其每一項的係數可以提供關於這個序列的資訊。使用母函式解決問題的方法稱為母函式方法。
母函式可分為很多種，包括普通母函式、指數母函式、l級數、貝爾級數和狄利克雷級數。對每個序列都可以寫出以上每個型別的乙個母函式。構造母函式的目的一般是為了解決某個特定的問題，因此選用何種母函式視乎序列本身的特性和問題的型別。
由此可以看出:
1. x的係數是a1,a2,…an的單個組合的全體。
2. x2的係數是a1,a2,…a2的兩個組合的全體。
n. xn的係數是a1,a2,….an的n
個組合的全體（只有
1個）。
由此得到：
母函式的定義：
對於序列a0，a
1，a2，
…構造一函式：
稱函式g(x)是序列a0，a
1，a2，
…的母函式
這裡先給出2
個例子，等會再結合題目分析：
第一種：
有1克、2克、3克、4克的砝碼各一 枚，能稱出哪幾種重量？每種重量各有幾種可能方案？
考慮用母函式來接吻這個問題：
我們假設x表示砝碼，x的指數表示砝碼的重量，這樣：
1個1克的砝碼可以用函式1+x表示，
1個2克的砝碼可以用函式1+x2表示，
1個3克的砝碼可以用函式1+x3表示，
1個4克的砝碼可以用函式1+x4表示，
上面這四個式子懂嗎？
我們拿1+x2來說，前面已經說過，x表示砝碼，x的指數表示重量，即這裡就是乙個質量為2的砝碼，那麼前面的1表示什麼？1代表重量為2的砝碼數量為0個。（理解！）
"把組合問題的加法法則和冪級數的t的乘冪的相加對應起來"
1+x2表示了兩種情況：1表示質量為2的砝碼取0個的情況，x2表示質量為2的砝碼取1個的情況。
這裡說下各項係數的意義：
在x前面的係數a表示相應質量的砝碼取a個，而1就表示相應砝碼取0個，這裡可不能簡單的認為相應砝碼取0個就該是0*x2(想下為何？結合數學式子)。
tanky woo 的程式人生：
所以，前面說的那句話的意義大家可以理解了吧？
幾種砝碼的組合可以稱重的情況，可以用以上幾個函式的乘積表示：
(1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x4)
=(1+x+x2+x3)(1+x3+x4+x7)
=1+x+x2+2x3+2x4+2x5+2x6+2x7+x8+x9+x10
從上面的函式知道：可稱出從1克到10克，係數便是方案數。（！！！經典！！！）
例如右端有2x5 項，即稱出5克的方案有2：5=3+2=4+1；同樣，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。
故稱出6克的方案有2，稱出10克的方案有1 。
接著上面，接下來是第二種情況：
求用1分、2分、3分的郵票貼出不同數值的方案數：
大家把這種情況和第一種比較有何區別？第一種每種是乙個，而這裡每種是無限的。
以展開後的x4為例，其係數為4，即4拆分成1、2、3之和的拆分數為4；
即 ：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2
這裡再引出兩個概念整數拆分和拆分數：
所謂整數拆分即把整數分解成若干整數的和（相當於把n個無區別的球放到n個無標誌的盒子，盒子允許空，也允許放多於乙個球）。
整數拆分成若干整數的和，辦法不一，不同拆分法的總數叫做拆分數。
現在以上面的第二種情況每種種類個數無限為例，給出模板：模板
關於什麼是母函式 ， 以及在現實生活中的應用 ， 請大家詳看 或者 hdu
母函式
ppt：
對於給出的母函式模板 ， 讓人理解起來比較費勁的！以下給出幾種解釋 ， 和自己理解
//made by syx
//time 2023年9月
11日
10:17:27
//母函式例題
/*//整數拆分模板
由於 可以把x^1看成 是重量為1的砝碼 對於重量為1的砝碼數是無限的 所以就有了式子（1+x^1+x^2+x^3.....）
重量為2的砝碼可以組成式子（1+x^2+x^4+x^6+.....）
。。。。。。。
之後各個式子相乘 則x^n前的係數便是方案數
注意這裡的每種砝碼數量是無限的 當是有限的時候就要做下限值了 具體看埋葬的其它文章
#include
using namespace std;
const int lmax=10000;
//c1是用來存放展開式的係數的，而
c2則是用來計算時儲存的，
//他是用下標來控制每一項的位置，比如
c2[3]
就是 x^3
的係數。
//用c1
儲存，然後在計算時用
c2來儲存變化的值。
int c1[lmax+1],c2[lmax+1];
int main()
//第一層迴圈是一共有
n 個小括號，而剛才已經算過乙個了
//所以是從
2 到
n for (i=2; i<=n; i++)//第乙個式子表示完畢 從第二個式子開始乘 一共有n
個括號
// 重新整理一下資料，繼續下一次計算，就是下乙個括號裡面的每一項。
for ( j=0; j<=n; j++ )
}cout<}
return 0;
}這句 c2[j+k] += c1[j];
的理解還要自己好好的體會體會啊！
*/自己理解：對於（#
式） (1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+....)*(1+x^2+x^4+x^6+x^8+x^10+....)*(1+x^3+x^6+x^9+x^12....).....
第乙個for
給c1
和 c2
賦值 ， 把上面
#式的第乙個括號
(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+....)
的係數給放在
c1中，
從而再次計算從 #
的 第二個括號開始 ，
所以 i
就是代表的
# 式第幾個括號，
而 用程式模擬手工計算 ， 就是 先計算第乙個括號 與 第二個括號 計算 ， 把結果放到c2
中，在把結果與第三個括號計算 ， 把結果放到c2
中 ， 在和第四個括號計算，
........
所以j 就是指的 已經計算出 的 各項的係數
，比如第一次之後 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+...
， j=0
指向1 ，
j=2 指向
x ，
....
， 而
k 就是指 將要計算的那個括號中的項 ， 因為第
i個括號 ， 中的指數為
0 ，
i ，
2i....
所以 k
要 + i ；
而結果 c2[j+k] += c1[j]; 就是把 以計算出的
j項的係數 和 現在正在計算的括號的
k項相乘 ， 所以指數為
j+k
， 所以結果放到
c2[j+k]
中 ， 這就是這幾個for
的作用！
最後重新整理下結果 ， 下一組資料計算！
埋葬個人的理解
對於（#式） (1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+....)*(1+x^2+x^4+x^6+x^8+x^10+....)*(1+x^3+x^6+x^9+x^12....).....
1第乙個for給c1 和 c2 賦值 ， 把上面#式的第乙個括號(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+....)的係數給放在c1中，
從而再次計算從 # 的 第二個括號開始 ，
所以 i 就是代表的# 式第幾個括號
2 j即第i個式子中的第j項
3而 k 就是指 將要計算的那個括號中的項 ， 因為第i個括號x中的指數為0 ， i ， 2i....所以 k要 + i ；
4 c2[ j+k] += c1[ j];
c2[j] c1 [j]是指 即次數為j的係數；
c1是用來存放展開式的係數的 而c2則是用來計算時儲存的
這裡指c1[j]乘以k之後 次數也變成了j+k， 故c2[j+k]的係數要增加c1[j]個；
5 n是砝碼的個數
新例題：hdu1085 用1 2 5的硬幣買不到的東西的價值（輸出最小的）3者數量分別為num1 num2 num3
#include "stdio.h"
int c1[10000],c2[10000];
int main()
int i,j,k,num1,num2,num3,n;
while(scanf("%d %d %d",&num1,&num2,&num3)!=eof)
if(!num1&&!num2&&!num3) break;
n=num3*5+num2*2+num1;
for(i=0;i<=n;i++)
c1[i]=0;
c2[i]=0;
for (i=0;i<=num1;i++)
c1[i]=1;
for(j=0;j<=num1;j++)
// for (k=0;k+j<=num2*2;k=k+2)//num2*2表示最多可能達到的次數
for (k=0;k<=num2*2;k=k+2)//num2*2表示最多可能達到的次數
if(i==n+1) printf("%d\n",i);
說白了就是求多項式的值
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