NYOJ 102 次方求模

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難度：3 描述

求a的b次方對c取餘的值

輸入

第一行輸入乙個整數n表示測試資料的組數（n<100）

每組測試只有一行，其中有三個正整數a,b,c(1=

輸出輸出a的b次方對c取餘之後的結果

樣例輸入

2 3 5

3 100 10

11 12345 12345

樣例輸出

110481

演算法分析：

大數問題，需要利用快速冪取模演算法。

所謂的快速冪，實際上是快速冪取模的縮寫，簡單的說，就是快速的求乙個冪式的模(餘)。在程式設計過程中，經常要去求一些大數對於某個數的餘數，為了得到更快、計算範圍更大的演算法，產生了快速冪取模演算法。求a^b mod c = 幾。 (result就是取餘後的結果)

演算法1.普通演算法：

int pow( int a, int b )
result=r%c;

這個演算法的時間複雜度體現在while迴圈中，為o（b）.這個演算法存在著明顯的問題，如果a和b過大，很容易就會溢位。

演算法2.二分法

int pow( int a, int b )
return r;
}result=r%c;

演算法三：快速冪取模演算法

首先要了解這樣乙個公式：

a^b mod c=(a mod c)^b mod c

(詳細證明請看數論或者離散數學)

了解了這個公式，我們可以先讓a關於c取餘，這樣可以大大減少a的大小，於是不用思考的進行了改進，**如下：

int pow(int a, int b)
}result = r % c;

這個演算法在時間複雜度上沒有改進，仍為o(b)，不過已經允許更大b值，但是在c過大的條件下，還是很有可能超時，所以，我們結合前面推出更快更好快速冪演算法。快速冪演算法依賴於以下明顯的公式，我就不證明了。

我們可以看到，我們把時間複雜度變成了o(b/2).當然，這樣子治標不治本。但我們可以看到，當我們令k = (a * a) mod c時，狀態已經發生了變化，我們所要求的最終結果即為(k)b/2 mod c而不是原來的ab mod c，所以我們發現這個過程是可以迭代下去的。當然，對於奇數的情形會多出一項a mod c，所以為了完成迭代，當b是奇數時，我們通過

ans = (ans * a) % c;來彌補多出來的這一項，此時剩餘的部分就可以進行迭代了。

形如上式的迭代下去後，當b=0時，所有的因子都已經相乘，演算法結束。於是便可以在o（log b）的時間內完成了。於是，有了最終的演算法：快速冪演算法。 **如下：

int pow(int a, int b, int c) 
return r;
}

利用位操作實現快速冪的**如下:(測試了下這種求冪法能力很有限，如果不在中間取模，，很容易就溢位了)

#include#include_int64 pow( _int64 a, _int64 b );
int main()
return 0;
}_int64 pow( _int64 a, _int64 b )
return r;
}

本題**如下：

#include#includelong long pow(long long a,long long b,long long c);
int main(void)
return 0;
}long long pow(long long a,long long b,long long c)
return r;
}

本演算法的時間複雜度為o（logb），能在幾乎所有的程式設計（競賽）過程中通過，是目前最常用的演算法之一，值得推廣學習！！！

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