這幾天搞影象總遇到卷積，對於以前是通訊專業的我來說，卷積並不陌生，《訊號與系統》裡面的常客，但是既然這個數學工具最初是出於物理上面，那肯定有通俗易懂的物理背景。
資料探勘中有時需要卷積這一數學工具(例如計算個體適應度、物件間距離,以及干預效果等等），昨天又有同學問到相關問題，借用最近在網上的滾燙的詞匯集 ，對卷積做了乙個直觀的解釋。反饋還算滿意，又在過去講課的ppt中取些素材，改寫成了這篇博文。
幼童背古詩文的感覺，來自數學系的同學覺得卷積是小菜一碟，隨手就寫出卷積定義
f(t)= ∫ f(τ)g(t-τ)dτ (積分限從-∞ 到+∞)
並指出這是含參積分，t是引數，覺得淺而又顯，無須解釋。而部分（例如來自工科和醫學專業的）選修資料探勘的學生，還是覺得稍有點難，說：相關公式能默寫、能推導、能通過考試，自己還是覺得不踏實，覺得沒有真正理解；發明者是怎樣想出來的？有何直觀背景？用在哪些場合？
一言以蔽之，在邏輯上認可，而直觀上迷茫。好像很小的時候背誦古詩文那種感覺。
鑑於數學老師已經講解過理論推導，作為一種補充，這裡用生活例項做一些直觀解釋，給出乙個大框架和物理直觀，為敘述簡單，忽略一些細節。需要說明，直觀的解釋僅用於輔助理解，不能取代嚴格的描述和證明。
幾個時髦（但可能不很貼切）的例子.
輻射：設某核電站事故中，某工作人員每天到搶險現場工作t分鐘，接受一定劑量的輻射，輻射會自然地衰減，如此工作n天，總的輻射量用什麼計算工具來（粗略地）估計？回答：可以用卷積。
服碘：某人為了防輻射，自己找來碘片，每天口服若干，體內碘殘量會隨人體代謝衰減，n天後體內積累的碘殘量如何（粗略地）估計？還是卷積；（後面科普部分將給出簡單的推導過程）；
補鹽：某人為了反輻射，搶購來碘鹽，每餐口服若干，體內鹽殘量會隨人體代謝衰減。n天後體內積累的鹽量和碘殘量如何（粗略地）估計？可以用卷積；
空襲：某多國部隊每隔n小時對桀驁不馴的某地區或國家實行間歇性空中打擊，每次打擊後，其物理破壞和心理震懾作用會隨時間衰減（例如，被打方會組織搶修，心裡承受度增加等等），如此進行m天後，累積的打擊總效果如何（粗略地）估計？還是可以用卷積。
還有其他例子，如長期服藥的血藥濃度，長期吸入汙染物在人體內的積累，吸菸或喝咖啡的積累效應，多次噴灑農藥的殘留量，等等，也可以用卷積來估計。
上面的有些例子可能不很貼切，有幾個原因：，
(a)卷積是積分運算，處理物件要求是可以積分的函式，在工程中，一般對應於連續現象而不是離散物件；把離散物件當做連續的現象處理，只能粗略估計。
(b)社會問題，政治問題比較複雜，即使加上很多假定，也只是框架性的估算。
但是，有計算、有依據的估計總比算命先生的神仙數字可信。
難懂之因：為了數學美，拆卸了腳手架。 教科書書常用「定義—定理」的體系，先給出數學定義，然後給出若干性質， 從公式 到 公式，逐步推導。有的教科書採用用訊號「反褶、平移、相乘、積分」給出幾何解釋，屬於用數學解釋數學，提問者不滿足這種解釋。
這不是當年發明卷積的大師們的「需求–猜想—發現—證明—應用」的路徑，大師們建設好「卷積」大廈後，為了數學美，拆卸了腳手架，現在人們看到的是煉成的鋼鐵，看不出鋼鐵是怎樣煉成的。造成了部分非數學專業學生的乙個難點。
一次輸液引出的班門弄斧一次偶感風寒，服藥未癒，轉作靜脈滴注，無聊地望著那藥液慢騰騰地滴，忽然靈感一閃：
（1）這是乙個可離散觀察的連續過程。透明玻璃管構成了視覺化的介面，能離散地對藥滴計數，而下面是相對穩定的液柱高度，保證了藥液連續（有點脈動）地注入靜脈，比較適合積分處理；（口服和注射，就相對離散，結果就更粗略一些）。
（2）藥動學有個術語血藥濃度，怎樣來保證血藥濃度在安全閾值之下，又在有效閾值之上呢？
立刻在草稿本上寫劃，哇噻，原來可以用卷積！而且只需要簡單的積分知識。於是，對此常問難點，有了乙個易懂的直觀解釋。正是：小恙滴注，焉知非福？
下面將敘述這次雙重的（數學與醫學）的班門弄斧，疏漏之處，請專家指正。
靜脈滴注與體內藥物濃度為簡單又不失一般性，給出下列符號和假定:
從t=0開始，每隔τ秒，輸入藥物一次（離散化是為了簡單）；藥量隨時間變化， 在時刻t時的那次給藥量為f(t)，關注的時刻點為 t=0, τ，2τ，3τ，…
一滴藥液的在體內衰減規律藥物以多種方式代謝(衰減
)，按假設，在τ1
時的那滴藥液含藥量f(τ
1)，當時間流逝到
t時刻，假設那一滴藥物在體內的殘量是f(τ
1) g(t，τ
1)，其中g(t，τ
1)稱為衰減因子函式，怎麼找出衰減因子的具體結構呢？
藥動學中有兩種衰減方式：
(a)零級動力學消除，即恆速消除，如
乙醇血濃
>0.05 mg/ml
時，較簡單；
(b)一級動力學消除，即恆比消除，消除速度與血藥濃度成正比，如
乙醇血濃
<0.05 mg/ml
時的衰減規律
，這也類似於簡單熱傳導中散熱速度與溫差成正比。
設在τ時刻
，輸入一滴藥，藥量為f(τ
)，根據一級動力學消除，建立最簡單的微分方程；
dg/dt =-kg 考慮
t=τ時不衰減的初始條件，容易求得
g=e-k(t-τ)
， 為下面方便，把衰減因子
改寫為
g(t-
τ)= e
-k(t-τ)
於是，在
τ>0時,
給藥一次，藥量為f(τ
)， 當
t為2τ時，
血藥濃度降到f(τ
)*g(t-
τ)= f(
τ)*g(
τ)= f(
τ)(1/e
k ) 當t
為3τ時，血藥濃度降到 f(τ
)*g(t-
τ) = f(
τ)*g(2
τ)= f(
τ)(1/e
2k ) 當
t為4τ時，
血藥濃度降到
f(τ)*g(t-
τ) = f(
τ)*g(3
τ)= f(
τ)(1/e
3k )
可見，只給藥一滴，
血藥濃度衰減很快，難以**那種要與病毒或細菌打持久戰的疾病。
多次密集給藥
或連續給藥
上面是只在
τ>0時,
給藥一次，現在，讓τ
動起來，n次給藥，給藥時間
依次取τ1,
τ2,…..τn
;則n次密集給藥後，當時間流逝到
t時的血藥濃度是
∑jf(τ
j)*g(t-τj
)( 對 j=1,
2,…..
n求和）
前面說過，靜脈滴注是乙個可離散觀察的連續過程。，所以，上面的和式可寫為積分形式，即卷積
f(t)=∫f(τ
)g(t-τ)d
τ 曲線光滑工具 當f(τ
)是脈衝函式時（例如考察一滴藥引發的血藥濃度），曲線顯得不夠光滑，而卷積f(t)是多次脈衝的（平均）累積效應，或可視為是一種加權平均，所以，f(t)的曲線就光滑一些，所以，醫生要考察n小時的滴注效果，而不察幾分鐘或一滴藥的效果。選擇適當的g(t-
τ)函式，（例如，3/2次方衰減型、平方衰減性、指數衰減型、週期兼指數衰減型，...），可用卷積作為突出不同加權方式的曲線光滑工具。
比較光滑、不是陡公升陡降的血藥濃度曲線表明，靜脈滴注能較好地控制血藥濃度；這大概也是有些醫生和病人喜歡它的原因；當然，如果過分依賴靜脈滴注，則減少了免疫系統的鍛鍊機會，所以很多醫生主張，如果服藥能解決問題，就不要滴注。
更多的應用例項卷積的結果可輔助人們定量地協調脈動式輸入 f(τ) 和 衰減g(t-τ) 這一對矛盾，使得累積效應f(t)= ∫ f(τ)g(t-τ)dτ 在控制範圍內。
例如，研究干預規則，（例如，葉酸干預新生兒腦畸形缺陷），干預為f(τ)，複雜的衰減g(t-τ)，總的干預效果可否用卷積來粗略描述？
再例如，制定正確的給藥劑量和週期，例如照醫囑攝入碘或鹽；
又例如，制定空中打擊方案的強度和頻度，常識告訴人們，足夠的強度和密度才能有效打擊。卷積作為工具，或許可定量計算出最經濟打擊強度和密度。而被打擊的一方，可計算出足夠的衰減因子，使得能在被轟炸後有效恢復；戰爭是鐵血與智慧型的較量，當雙方的鐵與血差不多時，如《孫子.計篇》所說，「多算勝，少算不勝」，而卷積只不過在眾多的計算方法基礎上，增加了乙個演算法，僅此而已,
最近，在這個不平靜的世界上，有一場空襲和反空襲的較量，不知持續多久？10天，100天，還是200天？研究軍事的專家或許可用卷積做個模型。
武俠**中，有時候看見一方逐步投入兵力，使用添油戰術，好像是多次服藥，每次都沒有服夠量，血藥濃度低於有效門限。被逐次殲滅。
卷積並不神秘，它有其退化版，例如水池一面進水，一面放水，求瞬時水量。當進水勻速且放水速度服從零級或一級動力學消除規律時，偶爾也作為中小學生的數學奧賽題，基礎好的聰明學生能用初等方法計算。但當進水是1+sin(t)這樣的脈動函式，或更複雜的函式時，就只能用卷積了。
卷積是乙個老技術，對某些專業的學生是乙個難點，「老技術+新**+直觀解釋」使其容易被初學者接受。這裡要強調，直觀解釋不能取代嚴格的數學推理，這裡的班門弄斧。不能取代數學老師的正規訓練。。
之二
卷積的通俗解釋
在 上看到關於卷積的乙個 血腥 的講解 比如說你的老闆命令你幹活，你卻到樓下打撞球去了，後來被老闆發現，他非常氣憤，扇了你一巴掌 注意，這就是輸入訊號，脈衝 於是你的臉上會漸漸地 賤賤地 鼓起來乙個包，你的臉就是乙個系統，而鼓起來的包就是你的臉對巴掌的響應，好，這樣就和訊號系統建立起來意義對應的聯絡...
通俗易懂的解釋卷積
著作權歸作者所有。有那麼麻煩嗎？不推薦用 反轉 翻轉 反褶 對稱 等解釋卷積。好好的訊號翻轉了是什麼意義？導致學生難以理解卷積的物理意義。國內的大多數教材在這一點上沒有講透。直接看圖，不信看不懂。以離散訊號為例，連續訊號同理。就四個字 平移 可沒有反褶哈 疊加。從這裡，可以看到卷積的重要的物理意義是...
如何通俗易懂地解釋卷積？
卷積這個概念，很早以前就學過，但是一直沒有搞懂。教科書上通常會給出定義，給出很多性質，也會用例項和圖形進行解釋，但究竟為什麼要這麼設計，這麼計算，背後的意義是什麼，往往語焉不詳。乙個公式倘若倘若給不出結合實際的直觀的通俗的解釋 也就是背後的 物理 意義 就覺得少了點什麼，覺得不是真的懂了。教科書上一...