在計算機內部，所有資訊都是用二進位制數串的形式表示的。整數通常都有正負之分，計算機中的整數分為無符號的和帶符號的。無符號的整數用來表示0和正整數，帶符號的證書可以表示所有的整數。由於計算機中符號和數字一樣，都必須用二進位制數串來表示，因此，正負號也必須用0、1來表示。通常我們用最高的有效位來表示數的符號（當用8位來表示乙個整數時，第8位即為最高有效位，當用16位來表示乙個整數時，第16位即為最高有效位。）0表示正號、1表示負號，這種正負號數位化的機內表示形式就稱為「機器數」，而相應的機器外部用正負號表示的數稱為「真值」。將乙個真值表示成二進位制字串的機器數的過程就稱為編碼。
無符號數沒有原碼、反碼和補碼一說。只有帶符號數才存在不同的編碼方式。
帶符號整數有原碼、反碼、補碼等幾種編碼方式。原碼即直接將真值轉換為其相應的二進位制形式，而反碼和補碼是對原碼進行某種轉換編碼方式。正整數的原碼、反碼和補碼都一樣，負數的反碼是對原碼的除符號位外的其他位進行取反後的結果（取反即如果該位為0則變為1，而該位為1則變為0的操作）。而補碼是先求原碼的反碼，然後在反碼的末尾位加1 後得到的結果，即補碼是反碼+1。ibm-pc中帶符號整數都採用補碼形式表示。（注意，只是帶符號的整數採用補碼儲存表示的，浮點數另有其儲存方式。）
採用補碼的原因或好處如下,採用補碼運算具有如下兩個特徵：
1）因為使用補碼可以將符號位和其他位統一處理，同時，減法也可以按加法來處理，即如果是補碼表示的數，不管是加減法都直接用加法運算即可實現。
2）兩個用補碼表示的數相加時，如果最高位（符號位）有進製，則進製被捨棄。
這樣的運算有兩個好處：
1）使符號位能與有效值部分一起參加運算，從而簡化運算規則。從而可以簡化運算器的結構，提高運算速度；（減法運算可以用加法運算表示出來。）
2）加法運算比減法運算更易於實現。使減法運算轉換為加法運算，進一步簡化計算機中運算器的線路設計。
下面深入分析上面所陳述的採用補碼的原因（目的）。
用帶符號位的原碼進行乘除運算時結果正確,而在加減運算的時候就出現了問題，如下： 假設字長為8bits
( 1 ) 10- ( 1 )10 = ( 1 )10 + ( -1 )10 = ( 0 )10
(00000001)原 + (10000001)原 = (10000010)原 = ( -2 ) 顯然不正確.。
因為在兩個整數的加法運算中是沒有問題的，於是就發現問題出現在帶符號位的負數身上，對除符號位外的其餘各位逐位取反就產生了反碼。反碼的取值空間和原碼相同且一一對應。下面是反碼的減法運算：
( 1 )10 - ( 1 ) 10= ( 1 ) 10+ ( -1 ) 10= ( 0 )10
(00000001) 反+ (11111110)反 = (11111111)反 = ( -0 ) 有問題。
( 1 )10 - ( 2)10 = ( 1 )10 + ( -2 )10 = ( -1 )10
(00000001) 反+ (11111101)反 = (11111110)反 = ( -1 ) 正確
問題出現在(+0)和(-0)上，在人們的計算概念中零是沒有正負之分的。
於是就引入了補碼概念。負數的補碼就是對反碼加一，而正數不變，正數的原碼反碼補碼是一樣的。在補碼中用(-128)代替了(-0)，所以補碼的表示範圍為：
(-128~0~127)共256個。
注意:(-128)沒有相對應的原碼和反碼， (-128) = (10000000) 補碼的加減運算如下：
( 1 ) 10- ( 1 ) 10= ( 1 )10 + ( -1 )10 = ( 0 )10
(00000001)補 + (11111111)補 = (00000000)補 = ( 0 ) 正確
( 1 ) 10- ( 2) 10= ( 1 )10 + ( -2 )10 = ( -1 )10
(00000001) 補+ (11111110) 補= (11111111)補 = ( -1 ) 正確
採用補碼表示還有另外乙個原因，那就是為了防止0的機器數有兩個編碼。原碼和反碼表示的0有兩種形式+0和-0，而我們知道，+0和-0是相同的。這樣，8位的原碼和反碼表示的整數的範圍就是-127~+127（11111111~01111111），而採用補碼表示的時候，00000000是+0，即0；10000000不再是-0，而是-128，這樣，補碼表示的數的範圍就是-128~+127了，不但增加了乙個數得表示範圍，而且還保證了0編碼的唯一性。
先寫出該負數的相反數（正數），再將該正數的二進位制形式寫出來，然後對這個二進位制位串按位取反，即若是1則改為0，若是0則改為1，最後在末位加1。
接下來的問題是，如何能將減法運算轉換成加法運算呢？
我們已經知道，原碼表示簡單直觀，與真值轉換容易。但如果用原碼表示，其符號位不能參加運算。在計算機中用原碼實現算術運算時，要取絕對值參加運算，符號位單獨處理，這對乘除運算是很容易實現的，但對加減運算是非常不方便的，如兩個異號數相加，實際是要做減法，而兩個異號數相減，實際是要做加法。在做減法時，還要判斷運算元絕對值的大小，這些都會使運算器的設計變得很複雜。而補碼這種編碼方式實際上正是針對上述問題的。通過用補碼進行表示，就可以把減法運算化為加法運算。
在日常生活中，有許多化減為加的例子。例如，時鐘是逢12進製，12點也可看作0點。當將時針從10點調整到5點時有以下兩種方法：
一種方法是時針逆時針方向撥5格，相當於做減法：
10－5＝5
另一種方法是時針順時針方向撥7格，相當於做加法：
10＋7＝12＋5＝5 (mod 12)
這是由於時鐘以12 為模，在這個前提下，當和超過12時，可將12捨去。於是，減5相當於加7。同理，減4可表示成加8，減3可表示成加9，…。
在數學中，用「同餘」概念描述上述關係，即兩整數a、b用同乙個正整數m (m稱為模)去除而餘數相等，則稱a、b對m同餘，記作：
a＝b (mod m)
具有同餘關係的兩個數為互補關係，其中乙個稱為另乙個的補碼。當m＝12時，－5和＋7，－4和＋8，－3和＋9就是同餘的，它們互為補碼。
從同餘的概念和上述時鐘的例子，不難得出結論：對於某一確定的模，用某數減去小於模的另乙個數，總可以用加上「模減去該數絕對值的差」來代替。因此，在有模運算中，減法就可以化作加法來做。
可以看出，補碼的加法運算所依據的基本關係為：
[x]補+ [y]補= [x+y]補
補碼減法所依據的基本關係式：
[x-y]補 =[x+(-y)]補= [x]補+ [-y]補
補充：一、八位表示的範圍：【有符號整數只能由其補碼表示】
-128 --- -1 或10000000 - 11111111
0 ---- 127 或00000000 - 01111111
注意：0的機器碼只有唯一的一種表示（編碼），即00000000；沒有-0這種說法，10000000不是-1的編碼，而是-128的編碼 ；另外10000000沒有補碼和反碼。
二、編碼
有真值（一般為十進位制有符號整數）到機器碼的轉換過程稱為編碼。
三、計算機採用補碼表示的原因
1）使符號位能與有效值部分一起參加運算，從而簡化運算規則。從而可以簡化運算器的結構，提高運算速度；（減法運算可以用加法運算表示出來。）
2）加法運算比減法運算更易於實現。使減法運算轉換為加法運算，進一步簡化計算機中運算器的線路設計。【從補碼運算的特徵理解！】
3）為了防止0的機器數有兩個編碼。
【例】求-10的補碼的方法如下：
1）取-10的絕對值10；
2）10的絕對值的二進位制形式為1010；
3）對1010取反得1111 1111 1111 0101（這裡假定乙個整數佔16位）
4）再加1得1111 1111 1111 0110；
即取補碼的步驟是將其絕對值按位取反再加1即可……
仍基於上例進行分析，16位儲存空間能夠儲存的有符號型數的範圍為-2^16~2^16-1，-10的補碼按無符號型別計算其值為65526。
程式設計時可用如下語句實現：
int i=-10;
i=~abs(i)+1;//abs為取絕對值，~為按位取反
這個語句涉及到了三個操作：一是求絕對值，二是按位取反，三是加1
其實可以用乙個加法操作即可搞定……
int i=-10;
i=i+2^16;
可以驗證，這種方法是等價的，-10+2^16=65526，在乙個有符號型儲存變數中儲存這個數，相當於儲存了乙個負數……
其通用的方法是：
變數a用n位來儲存，當其為負數時計算其補碼的方法是a=a+2^n;
如何計算乙個有符號數的補碼表示？
按照 譚浩強.c程式設計 第三版 北京 清華大學出版社，2005 的第40頁至第41頁所述，求乙個負數的補碼的方法如下 例 求 10的補碼的方法如下 1 取 10的絕對值10 2 10的絕對值的二進位制形式為1010 3 對1010取反得1111 1111 1111 0101 這裡假定乙個整數佔16...
關於補碼 無符號及有符號型別的理解
對於數值儲存有補碼 原碼 反碼三種方式 補碼 解決負數加法運算正負零問題，彌補了反碼的不足。原碼 可直觀反映出資料的大小。反碼 解決負數加法運算問題，將減法運算轉換為加法運算，從而簡化運算規則 負值採用反碼的形式進行儲存，計算機通過第一位來判斷乙個數值是否為負數，當第一位為1時，則為負數，否之則為正...
有符號數的原碼 反碼 補碼詳解
有符號數 signed d 符號位 數值位 例如 int i 7 int 型別佔4個位元組，1個位元組佔8個位，int佔32個位元位 7 根據8421碼得到二進位制原碼 0b00000000000000000000000000000111 int 型別的表數範圍 計算機中儲存有符號數的時候是按照補碼...