1 排列組合的謎題

結論一：有n組球，每組一種顏色，每組至少k個，要得到k種同色球必須抽取n(k-1)+1個球(準確描述應該是：至少抽取n(k-1)個球一定能保證其中包含k種同色球)。

證明: 最糟糕的情況莫過於——前n(k-1)次的抽取各個種類分別出現了k-1個球，很顯然。

如果一組或多組球的個數少於k呢？

設有m組球的個數是小於k的，則大於k的有n-m組，道理和結論一一致，唯一的區別在於只不過球個數小於k的，把這些球取完了就是了，設小於k的m組共有球為s，那麼至少抽取的次數為s+(n-m)(k-1)。

問題變形：抽取n張牌（n在7到24之間），每次都不放回，請問抽到7張同花色的概率是多少？

分類討論該問題：

（1）n<7時，概率為0；

（2）n>24時，概率為1；

(3) 位於7到24之間時，總共是c(7, 52)種抽取，結果是恰好有7個同花色，花色四選一c(1, 4)，再從某一花色選取7張c(7, 13), 剩餘的是c(n-7, 39)，所以概率為c(1, 4) * c(7, 13) * c(n-7, 39) / c(7, 52);

如果問題改為放回呢？

如果放回，針對情況3，首先還是看底，取n次共有52^n種情況，其中n次裡面恰好有7張同花色，花色四選一c(1, 4)，7張的選擇可能是13^7，剩餘的n-7張的選擇是39^(n-7)，所以概率為c(1,4)*13^7*39^(n-7)/52^n。

問題變形：若要抽的k張同花色的牌（放回或不放回）則抽取牌數的期望值是多大？

結論二：（1）有n個人參加的淘汰賽，那麼淘汰賽中輪空的人數等於大於等於n的最小的2的指數冪與n的差的二進位制表示中1的個數。

舉例說明：比如說37人參加的比賽，那麼這一淘汰賽中總共輪空的人次為2^6=64-37=27，其二進位制表示形式為11011，包括4個1，所以整個比賽共輪空4個人次；

（2）一共有n個人參加的淘汰賽比賽場次的數目為n-1場。

為什麼是n-1？

道理很簡單，因為n個人參加的比賽需要淘汰n-1個人，因為1場比賽淘汰乙個人，所以總共比賽場次為n-1。