【教學內容相關章節】
8.1演算法分析初步 8.2再談排序與搜尋 8.3遞迴與分治 8.4貪心法
【教學目標】 （加粗表示基本掌握）
（1）理解「基本操作」、漸近時間複雜度的概念和大o記號的含義；
（2）掌握「最大連續和」問題的各種演算法及其時間複雜度分析；
（3）正確認識演算法分析的優點和侷限性，能正確使用分析結果；
（4）掌握歸併排序和逆序對統計的分治演算法；
（5）掌握歸併排序和快速選擇演算法；
（6）熟練掌握二分查詢演算法，包括找上下界的演算法；
（7）能用遞迴的方式思考和求解問題；
（8）熟練掌握用二分法求解非線性方程的方法；
（9）熟練掌握用二分法把優化問題轉化為判定問題的方法；
（10）熟悉能用貪心法求解的各類經典的問題。
例8-1：最大連續和（注：陣列下標從1開始）
（1）列舉的思想。計算次數用數學計算為n*(n+1)*(n+2)/6，時間複雜度o（n^n^n)。
best = a[1];
for (i = 1; i <= n; i++)
}
s[0] = 0;
for (i = 1; i <= n; i++)
s[i] = s[i-1] + a[i];
for (i = 1; i <= n; i++)
for (j = i; j <= n; j++)
if (s[j] - s[i-1] > best) best = s[j] - s[i-1];
分治法一般分為3個步驟：
1、劃分問題，把問題的例項劃分成若干子問題；
2、遞迴問題，遞迴解決子問題；
3、合併問題，合併子問題的解得到原問題的解。
本例中，「劃分」就是把序列分成元素個數盡量相等的兩半；「遞迴求解」就是分別求出完全位於左半或完全位於右半的最佳序列；「合併」就是求出起點位於左半、終點位於右半的最大連續和序列，並和子問題的最優解比較。
貼上乙個完整能跑的程式。注意區間為左閉右開[x,y)。遞迴方程t(n)=2t(n/2)+n，t(1)=1的解為t(n)=θ(nlogn)
#include #include #include #include #include #include #include #include #include using namespace std;
int maxsum(int *a, int x, int y)
v = 0; r = a[m];
for (i = m; i < y; i++)
if (l+r > max) max = l+r;
}int main()
（4）（沒怎麼想）再優，把o(n2)演算法稍作修改，便可以得到乙個o(n)演算法：當j確定時，「s[j]-s[i-1]最大」相當於「s[i-1]最小」，因此只需要掃瞄一次陣列，維護「目前遇到過的最小s」即可。
歸併排序也是按照分治法的三步，劃分、遞迴和合併。關鍵在於第三步，每次只需要把兩個序列的最小元素加以比較，刪除其中的較小元素並加入合併後的新錶即可。由於需要乙個新表來存放結果，所以附加空間n。
#include #include #include #include #include #include #include #include #include using namespace std;
void merge_sort(int *a, int x, int y, int *t)
for (int i = x; i < y; i++)
a[i] = t[i]; }}
int main()
例8-2 逆序對數。
給一列a1,a2,„,an，求它的逆序對數，即有多少個有序對(i,j)，使得iaj。n可以高達10^6。
和歸併排序一樣，例如 4 3 2 1，剛開始分為 4 3 | 2 1 ，兩邊都有乙個逆序對，然後變為 3 4| 1 2，此時如果左邊的比右邊的大就加上 m-p個。所以2+（2+2) = 6.
else
僅是這裡不同和函式引數不同。
按照分治三步法，將快速排序演算法作如下介紹。
（1）劃分問題：陣列的各個元素重排後分成左右兩部分，使得左邊的任意元素都小於或等於右邊的任意元素。
（2）遞迴問題：把左右兩部分分別排序；
（3）合併問題：例8-3 第k小的數。不用合併，因為此時陣列已經完全有序。
例8-3 第k小的數。
輸入n個整數和乙個正整數（1≤k≤n），輸入這些整數從小到大排序後的第k個（例如，k=1就是最小值）。n≤107。
這裡的快排和資料結構上學的基本一樣，原理就是把第乙個元素作為數軸，交換後邊的的，最後使數軸左右兩邊是比他大和小的。但是這個題目有些地方沒懂。
例如 int pos = q - low + 1; 和 return select_k(a, q+1, high, k-pos);中的k-pos。這裡先放下，希望大牛路過指點。
#include #include #include #include #include #include #include #include #include using namespace std;
const int n = 100;
int partition(int a[n], int low, int high)
a[low] = a[j];
a[j] = x;
return j;
}int select_k(int a[n], int low, int high, int k)
int main()
return -1;
}int main()
; cout << binsearch(a, 0, 10, 5) << endl;
}
（二分查詢求下界）
int binsearch(int *a, int x, int y, int v)
return x;
}
例8-4 範圍統計。
給出n個整數xi和m個詢問，對於每個詢問(a,b)，輸出閉區間[a,b]內的整數xi的個數。
lower_bound()返回乙個 iterator 它指向在[first,last)標記的有序序列中可以插入value，而不會破壞容器順序的第乙個位置，而這個位置標記了乙個大於等於value 的值。
也就是和上邊二分發的作用一樣，但是具體用法感覺像是stl相關的，苦逼我們居然沒怎麼學stl。暫且放一下。
章半小結：寫出來比單純看要好的多。。速度還行，晚上或者明天繼續寫剩下的。
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