5.3-1 marceau教授對引理5.5證明過程中使用的迴圈不變式表示異議。他對在第1次迭代之前迴圈不變式是否為真提出質疑。他得理由是人們可以容易地宣城空陣列不包含0排列。因此空陣列包含0排列的概率應該是0.所以在第1次迭代之前迴圈不變式無效。請改寫過程randomize-in-place，使其相關的迴圈不變式在第1次迭代之前對非空陣列扔適用，並為你的過程修改引理5.5的證明。
randomize-in-place(a)
n=a.length
swap a[1]with a[random(1,n)]
for i=2 to n
swap a[i]with a[random(i,n)]
初始化 考慮正好在第1次迴圈迭代之前的情況，此時i=2.由迴圈不變式可知，對每個可能的0排列，子陣列a[1..1]包含這個1排列的概率是(n-2+1)!/n!=1/n.子陣列a[1..1]是乙個非空子陣列，並且1排列中有1個元素a[1]。因而，a[1..1]包含1排列的概率是1/n。在第1次迴圈迭代以前迴圈不變式成立，保持和終止同原文。
5.3-2 kelp教授決定寫乙個過程來隨機產生除恒等排列外的任意排列。他提出了如下過程。
permute-without-identity(a)
n=a.length
for i=1 to n-1
swap a[i]with a[random(i+1,n)]
在進行第i次迭代時，元素a[i]是從元素a[i+1]到a[n]中隨機選取的。少選取了a[i]這1個元素，而在每次random時都少選取乙個元素，所以必然少了一部分元素進行排列，也就是說少了一些排列方式不能包含所有排列方式。所以肯定就不能包含任意排列。
5.3-3假設我們不是將元素a[i]與子陣列a[i..n]中的乙個隨機元素交換，而是將它與陣列任何位置上
的隨機元素交換：
permute-with-all(a)
n=a.length
for i=1 to n
swap a[i]with a[random(1,n)]
這段**會產生乙個均勻隨機排列嗎？為什麼會或為什麼不會？
a[i]從a[random(1,n)]中選擇方式有n種，則for i=1 to n有n^n種方式排列。而對於n個數的全排列有n!,(n^n/n!)表示每種元素平均出現次數，可以看出n=1,2時是整數，從n=3開始(n^n/n!)次數不是整數，也就證明了對於某些n 每種元素平均出現次數並不平均。所以答案是否定的。
5.3-4 armstrong教授建議用下面過程來產生乙個均勻隨機排列。
permute-by-cyclic(a)
n=a.length
let b[1..n]be a new array
offset=random(1,n)
for i=1 to n
dest=i+offset
if dest>n
dest=dest-n
b[dest]=a[i]
return b
請說明每個元素a[i]出現在b中任何特定位置的概率是1/n.然後通過說明排列結果不是均勻隨機排列，表明armstrong教授錯了。
從這個**看出隨機函式是在for i=1 to n迴圈外產生的，所以一旦隨機到乙個數，那麼把其帶入到迴圈裡就是固定不變的數了。那麼產生offset=random(1,n)有n種選擇方式，一種方式對應於乙個固定的1到n的迴圈，所以只有n種排列方式，因為產生均勻排列需要n!個排列方式n!>n，所以排列方式遠遠少於均勻隨機排列需要的排列方式。
因為對於每個b[dest]的下標dest是等可能(1/n概率)的出現1到n中的數，從a[1]到a[n]有等概率(1/n)賦值給b[1]到b[n]中的每個數。
5.3-5 證明：在過程permute-by-sorting的陣列p中，所有元素都唯一的概率至少是1-1/n.p(n^3,n) (p代表對於n^3個數的n排列。),有(n^3)^n個排列方式，所以所有元素唯一的概率是p(n^3,n)/(n^3)^n=(n^3-0)(n^3-1)...(n^3-(n-1))/n^(3n)>=(1-1/n^2)^n根據c.4所給二項式公式：設x=-1/n^2,y=1 (1-1/n^2)^n>=1-1/n (展開二項式前2項便知)得證！
5.3-6 請解釋如何實現演算法permute-by-sorting，以處理兩個或更多優先順序相同的情形。也就是說
即使有兩個或更多優先順序相同，你的演算法也應該產生乙個均勻隨機排列。
那麼我們可以做乙個迴圈，只要與前面任何乙個數相同，那麼當前數就進行隨機選數，一直到各個數都不相同為止。
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