字尾樹與最長回文子串
回文串:正反一樣的字串.
如abcdcba,反過來是還是abcdcba.
回文子串:dabcaea中有兩個回文子串(不包括長度為1的),即abca,aea.
長度abca>aea.
那麼字串dabcaea的最長回文子串就是abca.
解決方法:
1. 遍歷所有的子串.
長度n的字串,共有2^n個子串,去除長度為0,1的,也有2^n-n-1個.遍歷的時間複雜度是o(2^n),還要加上判斷是否回文的函式.
2. 以某個字元為中心,向兩邊擴散尋找.
當某個字元為中心較短的子串不滿足要求時,其更長的子串也不可能滿足要求,減少了遍歷演算法中許多不必要的計算.
時間複雜度為o(n^2).
3. 字尾樹
字尾樹是解決許多字串問題的利器.下面介紹字尾樹.
trie樹,又稱字典樹,單詞查詢樹或者字首樹,是乙個用於快速檢索的多叉樹. 典型應用是用於統計和排序大量的字串（但不僅限於字串），所以經常被搜尋引擎系統用於文字詞頻統計(@july)。如英文本母的字典樹是乙個26叉樹,數字的字典樹是乙個10叉樹.
trie利用字串的公共字首來節省儲存空間,並且能夠以空間換時間.
盜用別人的一張圖, 給出一組單詞，inn, int, at, age, adv, ant, 我們可以得到下面的trie：
根據上面的trie,我們可以
1. 計算任意某兩個單詞的最長公共字首,就是我們待會要詳細說明的lca演算法.
2. 快速計算某個單詞的出現次數.也就是我們上面說的以空間換時間的方法,建樹與查詢同時進行,每次根據單詞查詢或新建節點,計數.時間複雜度為o(n*length),length表示字串的平均長度.
我們再通過trie,即字首樹,來引出字尾樹.
字尾的含義:
對於字串xmadamyx,他的字尾是從後往前數的任意連續序列,如x,yx，myx．．．xmadamyx等都是其字尾，我們記作s[i],表示從第i個到最後的字尾.
s[1], xmadamyx， 也就是字串本身，起始位置為1
s[2], madamyx，起始位置為2
s[3], adamyx，起始位置為3
s[4], damyx，起始位置為4
s[5], amyx，起始位置為5
s[6], myx，起始位置為6
s[7], yx，起始位置為7
s[8], x，起始位置為8
接著,我們用上面trie的方法,把乙個字串的所有字尾建立trie.再盜用一張圖.如下:
正如我們上面說的,一般trie是許多字串生成的字首樹,而這裡我們用乙個字串生成n個字尾子串,再用字尾子串生成trie.
上圖中,有許多中間節點是多餘的,我們要用最少的節點來表示,並且所有的字尾都是葉子節點,那麼就做如下的壓縮:
1. 每個節點可以儲存多個字母.
2. 字串後加乙個結尾,如』$』,那麼就不會有任意字尾是其他字尾的字首,壓縮的時候就不會有字尾被壓縮掉.
於是,我們得到了壓縮的字尾樹:
繼續盜圖:
於是我們概括為 ( 字尾樹=字尾子串們+ trie ).
那麼字尾子串的trie與最長回文有什麼關係呢?
s1=xmadamyx反過來是s2=xymadamx,s1(4)=damyx,s2(5)=damx,他們的最長公共字首是dam,也就是最長回文子串的madam的半徑.
於是,我們得到了解決最長回文子串的方法.
s1 和翻轉 s2,生成的所有字尾子串壓入到trie中,計算s1(i)與s2(n-i+1)節點的最低公共祖先,即其最長公共字首,再得到最長回文子串.
如下圖,用s1+』$』 即翻轉後的s2+』#』建立字尾樹,得到如下的樹.
根據我們上面的描述,我們現在的任務是計算s1(i)和s2(n-i+1)節點的最低公共祖先.如上圖1$與8#,2$與7#...等的lca,最後得出最長的.
下面我們具體的說說lca問題,即計算任意兩個單詞的最長公共字首.
lca(lowest common ancestor: ):最低相同祖先,即樹型結構中兩個節點離root節點最近的公共祖先節點.如下圖:
兩個黃色節點的lca為圖中所示藍色節點.
方法: tarjan'salgorithm
tarjan的方法,深度優先遍歷樹,用並查集的思想層級記錄遍歷過節點的祖先情況,具體看下圖及**:
**：可見演算法**：
#includeusing namespace std;
bool adj[9][9]; // adjacency matrix，陣列存樹
bool visit[9]; // 訪問判斷
int lca[9][9]; // 任意兩點之間的lca
int p[9];//並查集陣列,表示其夫節點
int find(int x)
void dfs(int x)
{ if (visit[x]) return;
visit[x] = true;
cout< x >> y)
cout << x<
通過上面的翻轉,建樹,計算lca.我們最後得到了以每個字元為中心的最長回文.最後在統計得到總的最長回文.
上述插敘任意兩個節點的lca時間複雜度為o(n).但是我們傳統的建樹過程,時間複雜度應該是o(n^2).這樣,如果是一般較少的查詢,建樹的時間複雜度會抵消插敘帶來的遍歷.
後來有人發明了時間複雜度為o(n)的建樹方法-ukkonen,我們就可以大膽地使用字尾樹做各種用途了.有興趣的可以繼續深入研究
最後是字尾樹的其他用途(直接拷貝)
(1).查詢字串o是否在字串s中。
方案：用s構造字尾樹，按在trie中搜尋字串的方法搜尋o即可。
原理：若o在s中，則o必然是s的某個字尾的字首。
例如s: leconte，查詢o: con是否在s中,則o(con)必然是s(leconte)的字尾之一conte的字首.有了這個前提，採用trie搜尋的方法就不難理解了。
(2). 指定字串t在字串s中的重複次數。
方案：用s+』$'構造字尾樹，搜尋t節點下的葉節點數目即為重複次數
原理：如果t在s中重複了兩次，則s應有兩個字尾以t為字首，重複次數就自然統計出來了。
(3). 字串s中的最長重複子串
方案：原理同2，具體做法就是找到最深的非葉節點。
這個深是指從root所經歷過的字元個數，最深非葉節點所經歷的字串起來就是最長重複子串。
為什麼要非葉節點呢?因為既然是要重複，當然葉節點個數要》=2。
(4). 兩個字串s1，s2的最長公共部分
方案：將s1#s2$作為字串壓入字尾樹，找到最深的非葉節點，且該節點的葉節點既有#也有$(無#)。
最長回文子串與最長回文子串行
題目1 求最長回文子串 題目2 求回文子串數量 忽略兩個題目對於返回結果的不同要求 前者返回最長的結果，後者返回最長的結果對應的長度即可 dp陣列的定義的區別 最長回文子串 dp i j 表示的是string s中從i到j的子串 用python語法就是s i j 1 是否為回文子串。最長回文子串行 ...
最長回文子串 最長回文子串行
1.最長回文子串行 可以不連續 include include include include using namespace std 遞迴方法，求解最長回文子串行 intlps char str,int i,int j intmain include include include using n...
最長回文子串
描述 輸入乙個字串，求出其中最長的回文子串。子串的含義是 在原串連續出現的字串片段。回文的含義是 正著看和倒著看是相同的，如abba和abbebba。在判斷是要求忽略所有的標點和空格，且忽略大小寫，但輸出時按原樣輸出 首尾不要輸出多餘的字串 輸入字串長度大於等於1小於等於5000，且單獨佔一行 如果...