吉文斯旋轉

在數值線性代數中，吉文斯旋轉（givens rotation）是在兩個座標軸所展開的平面中的旋轉。吉文斯旋轉得名於華萊士·吉文斯，他在 1950 年代工作於阿貢國家實驗室時把它介入到數值分析中。

吉文斯旋轉表示為如下形式的矩陣

這裡的 c = cos(θ) 和 s = sin(θ) 出現在第 i 行和第k 行與第 i 列和第 k 列的交叉點上。就是說，吉文斯旋轉矩陣的所有非零元定義如下：:

乘積 g(i,k,θ)tx表示向量x在 (i,k)平面中的逆時針旋轉 θ 弧度。

givens 旋轉在數值線性代數中主要的用途是在向量或矩陣中介入零。例如，這種效果可用於計算矩陣的qr分解。超過householder變換的乙個好處是它們可以輕易的並行化，另乙個好處是對於非常稀疏的矩陣計算量更小。

當乙個吉文斯旋轉矩陣 g(i,j,θ)從左側乘另乙個矩陣 a 的時候，ga 只作用於a 的第 i 和 j 行。所以我們集中於下列問題。給出 a 和 b，找到c = cos θ 和 s = sin θ 使得

明確計算出 θ 是沒有必要的。我們轉而直接獲取 c, s 和 r。乙個明顯的解是

但是為了避免上溢位和下溢位，我們使用不同的計算，採用比率 b/a (它是 tan θ)或它的倒數(golub & van loan 1996)。如 edward anderson (2000) 在改進lapack 時發現的，前瞻數值考慮是連續性的。要完成它，我們要求r 是正數。

if (b = 0) then 

else if (a = 0) then 
else if (abs(b) > abs(a)) then
t ← a/b
u ← copysign(sqrt(1+t*t),b)
s ← 1/u
c ← s*t
r ← b*u
else
t ← b/a
u ← copysign(sqrt(1+t*t),a)
c ← 1/u
s ← c*t
r ← a*u

注意這裡的sgn定義為

而不是常用的

後者常在高階語言中作為標準庫函式被提供，注意不要直接應用於本演算法中。

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