，在此感謝原作者-'小鎮之月光''的貢獻。
有12個球，其中有1個球是次品，重量與其他球不同。現在有乙個沒有砝碼的天平，要求稱3次，將次品球挑出，並說出是輕是重。
此題答案網上到處都有，在此就不作詳解了。
我們現在要討論的問題是。遇到類似的題目，是否能夠找到一種通解呢？
首先我們來看第一類題（有1個異常球，且已知輕重）：
1-1：有9個球，其中1個球是次品，質量比其他球都要重。現在有乙個沒有砝碼的天平，要求稱2次，將次品球挑出，請問應當如何操作。
解：本題非常容易。將9個球分別編號為1-9。
第一次：1、2、3-4、5、6 空閒：7、8、9
如果左邊重：
則有如下三種情況：1重，2重，3重。
如果右邊重：
則有如下三種情況：4重，5重，6重。
如果一樣重：
則有如下三種情況：7重，8重，9重。
此時將3個疑似重球（以下簡稱重球）中的2個放於天平兩端，如天平不平，則重的那一頭是次品球。如果一樣重，則剩下的1個是次品球。
現在我們對1-1題做個推廣。
1-2：有n個球，其中1個球是次品，質量比其他球都要重。現在有乙個沒有砝碼的天平，要求稱t次，將次品球挑出。請問能否做到？
解：將n個球分別編號為1-n。
我們首先來分析結果的可能性數目（以下簡稱判斷）。共有n種，即從1重、2重一直到n重。而每一次稱，都會出現三種結果：左重，左輕，左右等重。則
t次之後，共至多會出現3^t種情形。我們所要做的，就是合理放置球，使得每一種判斷都有乙個情形對應，且乙個情形至多對應一種判斷。
因此當3^t>=n時，可以做到，否則不能。
現在我們再來分析1-1。我們要做的不是找到題目的答案，而是運用剛才的思維方法。
解：將9個球分別編號為1-9。可見共有9種判斷。
由於可以稱2次，因此共有3^2=9種情形，9>=9，因此本題有解。
首先，在第1次稱完後，至多會出現3種情形。設每一種情形為所對應的所有的判斷集合。則這些情形的並集必是全集，且這些情形兩兩之間沒有交集。
我們知道，還剩下2-1=1次稱量的機會，而1次稱量至多可產生3種情形，即最多可分辨3個判斷。
現在開始解題。第一步需要思考的是，左邊放幾個球，右邊放幾個球。空閒幾個球。
由於當左右所放的球數目不相等時，只會出現球多的一邊重1種情形，顯然不可取。
所以，天平兩邊應放置數目一樣的球。
接著考慮空閒幾個球。如空閒m個球，則當天平兩端相平時，共有m種判斷，m<=3^(2-1）=3，所以m至多為3。
而天平兩端各放a個球，由於左邊重和右邊重對稱等價，因此2種情形各對應a種判斷。a<=3^(2-1）=3，所以a至多為3。
又2a+m=9，所以a=m=3，天平兩邊各放3球，空閒3球。
接下去運用這樣的思路，即可得出正解。
現在我們來看第二類題（有1個異常球，輕重未知）：
2-1：有12個球，其中1個球是次品，質量與其它球不同。現在有乙個沒有砝碼的天平，要求稱3次，將次品球挑出，請問應當如何操作。
解：將12個球分別編號為1-12。可見共有1重、2重、……12重、1輕、2輕、……12輕，共24種判斷
而3次稱量，共會產生27種情形，27>24，所以本題有解。
接著考慮左右各放幾個球，空閒幾個球。
設各方a個球，空閒m個球，由於當天平兩端等重時，次品球必在，m個球中，則有2m種判斷。而剩下2次稱量機會，即至多有9種情形，所以2m<=9，m至多
為4。
當天平2邊不等重時，由於對稱等價，不妨設左邊重，則有左邊a球重和右邊a球輕共2a種判斷。2a<=9，所以a至多為4。
又2a+m=12，所以a=m=12，兩邊各放4球，空閒4球。
1、2、3、4-5、6、7、8 空閒：9、10、11、12
第二次；
當左邊重（右邊重同理，不作分析），有1重、2重、3重、4重、5輕、6輕、7輕、8輕，共8種判斷。將9、10、11、12這4個正常球剔除。
現在考慮8個球中，左右各放幾個球，空閒幾個球。
由於剩1次稱量機會，故最多可空3個球。而天平兩端放球需相等。且左邊重和右邊重至多各包括3種判斷。所以至少需空2球。
如果空2球。則有2重空法。
第1種，空1輕1重，設空4和8。此時剩下3重3輕。可知有一邊至少有2個重球。設1、2在1側。
如果3重-3輕，則沒有右邊重的情形，顯然不正確。
如果2重1輕-2輕1重，如1、2、5-3、6、7，則當左邊重時，有1重、2重、6輕、7輕4種判斷，4>3所以也不正確。
所以必須空2輕或者2重。
設空2輕（7、8）。則留下1、2、3、4、5、6。
如果3重-1重2輕，當左邊重時，有5種判斷，5>3，不正確。
如果2重1輕-2重1輕，則左邊重和右邊重各有3種判斷。第三步將疑似球中的2重相互比較，即可得出結果。如果一樣重，2輕之間相互比較即可得解。
通過以上分析，我們可以知道。解答此類問題的關鍵有2點：
1。判定天平兩邊各放幾個球，空閒幾個球。
2。湊出稱量方法，使得三種情形均包含小於3^x種（x為剩下稱量次數）判斷。
而這種湊出也是有技巧的，就是利用對稱等價原理，使兩邊疑似性質等同的球數目相同（如前面兩邊都是2重1輕），而空閒的球疑似性質均相同。
現在來討論13個球的問題。
2-2：有13個球，其中1個球是次品，質量與其它球不同。現在有乙個沒有砝碼的天平，要求稱3次，將次品球挑出，請問應當如何操作。
解：將13個球分別編號為1-13。可見共有1重、2重、……13重、1輕、2輕、……13輕，共26種判斷，26<27，本題有解。
天平2端最多共9球，而最多空4球，所以天平上必須有9個球，所以必須借助乙個標準球才能解題。
此後的過程近似於2-1，不在詳述。
由此可以推廣出乙個結論：有n個球，其中1個球是次品，質量與其它球不同。現在有乙個沒有砝碼的天平，要求稱t次，將次品球挑出。則當3^t>2n時，
本題有解。且當且僅當3^t=2n+1時，需要1個標準球輔助。（證明略）
最後來看第三類題，也是更加有難度的題目（2個異常球，1輕1重，和的輕重已知）：
3-1：9個一模一樣的小球，其中7個正常球重量一樣，但是另外有1個偏重，1個偏輕，而且這個球加一起又和2個正常球一樣重，給你一架沒有砝碼的天平
，稱量4次把這兩個非正常球找出來，並說明哪個重哪個輕。
解： 將9個球分別編號為a-i。可見共有a重b輕、a重c輕、a重i輕、b重a輕、……i重h輕，共72種判斷
而4次稱量，共會產生81種情形，81>72，所以本題有解。
運用以上思路，可很快得出答案。希望大家自己嘗試一下。
答案公布如下：
第一次：abc-def 空閒：ghi
如果一樣重，則第二次：adg-beh 空閒：cfi
顯然不可能一樣重
設左邊重：
a重b輕，a重c輕，c重b輕，d重e輕，d重f輕，e重f輕，g重h輕，g重i輕，i重h輕
第三次：
abd-efg 空閒：chi
如左邊重：
則有：a重c輕，d重e輕，d重f輕
第四次：e-f。如e重，則d重f輕；如f重，則d重e輕；如一樣重，則a重c輕。
如右邊重：
則有：c重b輕，g重h輕，g重i輕
第四次：h-i。如h重，則g重i輕；如i重，則g重h輕；如一樣重，則c重b輕。
如一樣重：
則有：a重b輕，e重f輕，h重i輕
第四次：a-e。如a重，則a重b輕；如e重，則e重f輕；如一樣重，則h重i輕。
現在來看第一次不是一樣重的情況。
不妨設abc>def 空閒：ghi
第二次：adg-beh 空閒：cfi
如果左邊重：
則a重e輕，a重f輕，a重h輕，a重i輕，c重e輕，c重h輕，g重e輕，g重f輕，i重e輕。
如果右邊重：
則b重d輕，b重f輕，b重g輕，b重i輕，c重d輕，c重g輕，h重d輕，h重f輕，i重d輕。
如果一樣重：
則a重d輕，a重g輕，g重d輕，b重e輕，b重h輕，h重e輕，c重f輕，c重i輕，i重f輕。
可以看到，左邊重和右邊重的情況是對稱的。因此不討論右邊重的情況。
當左邊重時：
第三次：abe-dfg 空閒：chi
如左邊重：
則有：a重f輕，a重h輕，a重i輕
第四次：f-h。如f重，則a重h輕；如h重，則a重f輕；如一樣重，則a重i輕。
如右邊重：
則有：c重e輕，g重e輕，i重e輕
第四次：c-g。如c重，則c重i輕；如g重，則g重e輕；如一樣重，則i重e輕。
如一樣重：
則有：a重e輕，g重f輕，c重h輕
第四次：a-g。如a重，則a重e輕；如g重，則g重f輕；如一樣重，則c重i輕。
當一樣重時：
第三次：adh-bei 空閒：cdf
如左邊重：
則有：a重g輕，h重e輕，c重i輕
第四次：a-h。如f重，則a重g輕；如h重，則h重e輕；如一樣重，則c重i輕。
如右邊重：
則有：b重h輕，g重d輕，i重f輕
第四次：b-g。如b重，則b重h輕；如g重，則g重d輕；如一樣重，則i重f輕。
如一樣重：
則有：a重d輕，b重e輕，c重f輕
第四次：a-b。如a重，則a重d輕；如b重，則b重e輕；如一樣重，則c重f輕。
解答完畢。
由此推廣，大家來嘗試一下這道題目；
3-2：9個一模一樣的小球，其中7個正常球重量一樣，但是另外有1個偏重，1個偏輕，而且這個球加一起比2個正常球輕，給你一架沒有砝碼的天平，稱量
4次把這兩個非正常球找出來，並說明哪個重哪個輕。
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