（Manacher）演算法 O n 回文子串

資料**網路參見：

問題描述：

輸入乙個字串，求出其中最大的回文子串。子串的含義是：在原串中連續出現的字串片段。回文的含義是：正著看和倒著看相同，如abba和yyxyy。

解析：

這裡介紹o(n)回文子串（manacher）演算法

演算法基本要點：首先用乙個非常巧妙的方式，將所有可能的奇數/偶數長度的回文子串都轉換成了奇數長度：在每個字元的兩邊都插入乙個特殊的符號。比如 abba 變成 #a#b#b#a#， aba變成 #a#b#a#。為了進一步減少編碼的複雜度，可以在字串的開始加入另乙個特殊字元，這樣就不用特殊處理越界問題，比如$#a#b#a#。

下面以字串12212321為例，經過上一步，變成了 s = "$#1#2#2#1#2#3#2#1#";

然後用乙個陣列 p[i] 來記錄以字元s[i]為中心的最長回文子串向左/右擴張的長度（包括s[i]），比如s和p的對應關係：

s # 1 # 2 # 2 # 1 # 2 # 3 # 2 # 1 #

p 1 2 1 2 5 2 1 4 1 2 1 6 1 2 1 2 1

(p.s. 可以看出，p[i]-1正好是原字串中回文串的總長度）

下面計算p[i]，該演算法增加兩個輔助變數id和mx，其中id表示最大回文子串中心的位置，mx則為id+p[id]，也就是最大回文子串的邊界。

這個演算法的關鍵點就在這裡了：如果mx > i，那麼p[i] >= min(p[2 * id - i], mx - i)。

具體**如下：

if(mx >i)
else

當 mx - i > p[j] 的時候，以s[j]為中心的回文子串包含在以s[id]為中心的回文子串中，由於 i 和 j 對稱，以s[i]為中心的回文子串必然包含在以s[id]為中心的回文子串中，所以必有 p[i] = p[j]，見下圖。

當 p[j] > mx - i 的時候，以s[j]為中心的回文子串不完全包含於以s[id]為中心的回文子串中，但是基於對稱性可知，下圖中兩個綠框所包圍的部分是相同的，也就是說以s[i]為中心的回文子串，其向右至少會擴張到mx的位置，也就是說 p[i] >= mx - i。至於mx之後的部分是否對稱，就只能乙個乙個匹配了。

對於 mx <= i 的情況，無法對 p[i]做更多的假設，只能p[i] = 1，然後再去匹配了

下面給出原文，進一步解釋演算法為線性的原因

源**：

#include #include 
#include 
using
namespace
std;
void findbmstr(string
str)
else
while(str[i - p[i]] == str[i +p[i]])
p[i]++;
if(i + p[i] >mx)
}int max = 0
, ii;
for(int i = 1; i < str.size(); i++)
}max--;
int start = ii -max ;
int end = ii +max;
for(int i = start; i <= end; i++)
}cout 
<
delete  p;
}int
main()
cout 
<< str0 <
findbmstr(str0);
return0;
}

執行結果：

（Manacher）演算法 O n 回文子串

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