一步步學演算法演算法分析 6 Floyd演算法

floyd

演算法floyd演算法又稱為

弗洛伊德演算法

，插點法，是一種用於尋找給定的

加權圖中頂點間

最短路徑

的演算法。該

演算法名稱以創始人之一、2023年圖靈獎獲得者、史丹福大學電腦科學系教授

羅伯特·弗洛伊德

命名。正如我們所知道的，floyd演算法用於求最短路徑。floyd演算法可以說是warshall演算法的擴充套件，三個for迴圈就可以解決問題，所以它的時間複雜度為o(n^3)。

floyd演算法的基本思想如下：從任意節點a到任意節點b的最短路徑不外乎2種可能，1是直接從a到b，2是從a經過若干個節點x到b。所以，我們假設dis(ab)為節點a到節點b的最短路徑的距離，對於每乙個節點x，我們檢查dis(ax) + dis(xb) < dis(ab)是否成立，如果成立，證明從a到x再到b的路徑比a直接到b的路徑短，我們便設定dis(ab) = dis(ax) + dis(xb)，這樣一來，當我們遍歷完所有節點x，dis(ab)中記錄的便是a到b的最短路徑的距離。

很簡單吧，**看起來可能像下面這樣：

for ( int i = 0; i < 節點個數; ++i )}}
}

但是這裡我們要注意迴圈的巢狀順序，如果把檢查所有節點x放在最內層，那麼結果將是不正確的，為什麼呢？因為這樣便過早的把i到j的最短路徑確定下來了，而當後面存在更短的路徑時，已經不再會更新了。

讓我們來看乙個例子，看下圖：

圖中紅色的數字代表邊的權重。如果我們在最內層檢查所有節點x，那麼對於a->b，我們只能發現一條路徑，就是a->b，路徑距離為9。而這顯然是不正確的，真實的最短路徑是a->d->c->b，路徑距離為6。造成錯誤的原因就是我們把檢查所有節點x放在最內層，造成過早的把a到b的最短路徑確定下來了，當確定a->b的最短路徑時dis(ac)尚未被計算。所以，我們需要改寫迴圈順序，如下：

for ( int k = 0; k < 節點個數; ++k )}}
}

這樣一來，對於每乙個節點x，我們都會把所有的i到j處理完畢後才繼續檢查下乙個節點。

那麼接下來的問題就是，我們如何找出最短路徑呢？這裡需要借助乙個輔助陣列path，它是這樣使用的：path(ab)的值如果為p，則表示a節點到b節點的最短路徑是a->...->p->b。這樣一來，假設我們要找a->b的最短路徑，那麼就依次查詢，假設path(ab)的值為p，那麼接著查詢path(ap)，假設path(ap)的值為l，那麼接著查詢path(al)，假設path(al)的值為a，則查詢結束，最短路徑為a->l->p->b。

那麼，如何填充path的值呢？很簡單，當我們發現dis(ax) + dis(xb) < dis(ab)成立時，就要把最短路徑改為a->...->x->...->b，而此時，path(xb)的值是已知的，所以，path(ab) = path(xb)。（path(xb) ＝ y. 其中 x->... ->y->b 所得的y也是path(ab) 的值 a->...->x->...->y->b）

好了，基本的介紹完成了，接下來就是實現的時候了，這裡我們使用圖以及鄰接矩陣：

#define infinite 1000           // 最大值
#define max_vertex_count 20 　　// 最大頂點個數// 
struct graph
;//

首先，我們寫乙個方法，用於讀入圖的資料：

void readgraphdata( graph *_pgraph )}}

接著，就是核心的floyd演算法：

void floyd( int _arrdis[max_vertex_count], int _arrpath[max_vertex_count], int _nvertexcount )}//
for ( int k = 0; k < _nvertexcount; ++k )}}
}}

ok，最後是輸出結果資料**：

void printresult( int _arrdis[max_vertex_count], int _arrpath[max_vertex_count], int _nvertexcount )
else
while ( k != i );
//std::cout << stackvertices.top()+1;
stackvertices.pop();
unsigned int nlength = stackvertices.size();
for ( unsigned int nindex = 0; nindex < nlength; ++nindex )
std::cout << " -> " << j+1 << std::endl;}}}}}

好了，是時候測試了，我們用的圖如下:

測試**如下：

int main( void )
}floyd( arrdis, arrpath, mygraph.nvertexcount );
//printresult( arrdis, arrpath, mygraph.nvertexcount );
//system( "pause" );
return 0;
}

執行結果如下:

學習參考:

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一步步學ROS

一步步學彙編（九）call ret

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