KMP演算法小結

主要看了這裡，感覺講的十分的不錯，總結一下。

首先宣告要搜尋的串為s,設長度為n，要匹配的串為m,設長度為m.

先考慮暴力的演算法，暴力的演算法是遍歷s的每乙個字元，然後從這個字元開始和m串進行匹配。時間複雜度為o(nm).

怎麼在此基礎上進行優化？假設現在從某個位置(設為s)開始和m串進行匹配，如果匹配不成功，暴力演算法是從這個位置的下乙個位置(s+1)進行匹配,直觀上來說就是匹配的字串向後「滑動」了一位。

能不能想辦法讓m向後移動的距離最大化？考慮最好的情況，如果和m匹配的s中的m個字元和m中的字元沒有乙個相等，那麼能向右移動m位；考慮最壞的情況，比如上圖，只能移動一位。

而kmp就是在這裡做文章，讓m串向後「滑動」的距離最大化。

考慮上面的圖，m中灰色部分已經和s的灰色部分匹配上了，而灰色部分後乙個字元不匹配，則現在m要向後滑動，假設一直向後滑動，直到如圖位置又和s再一次匹配上了，那麼從這裡我們可以得到如下的結論：

這樣，如果暫時不考慮s，只看m的話，假設已經匹配的m的字串(即圖中m中灰色部分)為subm，則subm有個【相等】的【字首】和【字尾】。而且m在遇到不匹配的時候可以直接滑動到使subm的字首和subm的字尾重合的地方。而m向後滑動的時候，第一次subm的字首和字尾重合意味著此時這個相等的subm的字首和字尾的長度是最大的。

我們的任務就是要尋找subm的最長的字首和字尾相等的串。

知道了這一點，離kmp的真諦也就不遠了。現在結合這上面的圖模擬一下kmp演算法的整個流程：

從上面的步驟可以知道，kmp的關鍵就是要知道當s串中的字元和m串中的字元不匹配時，s串要和m串中的哪個字元繼續進行匹配。這個就是在利用狀態機模型來解釋kmp演算法時的狀態轉移.

kmp是通過乙個定義了乙個next陣列，這個next陣列儲存了如果s中的字元和m中的字元不匹配時s要和m中的哪個字元重新進行匹配的座標值。如圖2中所示是例子，s中的x位置和m不匹配了，那麼s要和m中a段後面的字元進行比較，從圖中來看是m向後滑動了。

換句話說，next[i]總是儲存了當m[i]不匹配時要從m[next[i]]處進行匹配，這個m[next[i]]可能會匹配，如果還不匹配？那麼可能會在m[next[next[i]]]處匹配了。這裡同時隱含著乙個資訊，就是i之前的一段字元和next[i]之前的一段字元是相同的，也就是m[0…i-1]相等的字首和字尾。

現在考慮next[0],next[1]…next[i]都已經知道了，那麼圖示如下：

設j=next[i]，灰色部分表明這兩段字元是相等的，如果i位置的字元和j位置的字元相等，那麼next[i+1]=j+1;因為前一段灰色部分和j位置的字元組成的字串和後一段灰色的與i連線所形成的字串是相等的。這正是前面對next陣列的定義。如果不相等，則要找到從i開始包括i往前的一段字元串與從0開始的一段字元串相等，這樣形成相等的字首和字尾。所幸我們知道next[next[i]]的值，因為next[i]前面的字串也有最長的公共字首和字尾，而這個公共的字首與現在i以及往前形成的字串可能相等，這樣一直向前找，如果找不到，則說明i位置的字元從來沒有在之前出現過。

這樣求出來的next陣列其實是從下標1開始的，因為下標0之前是個空串，下標1則對應著m串的第0個字元。我們設next[0]=-1，僅僅是個標誌而已，沒有什麼特殊的含義。

那麼根據前面所述，可以很容易的寫出初始化next陣列的**

void kmpgetnext()

2:

11: }

知道了next陣列的值，則和s串進行匹配則相對簡單了，因為如果碰到不匹配的時候去查詢next陣列即可,直到找出和當前字元匹配的那個字元。如果找不到怎麼辦？找不到則會得到-1，也就是沒有字元和他進行匹配，那麼跳過這個字元，直接從下乙個字元進行匹配即可。

**如下：

void kmpsearch()

2:

13:     }

14: }

看到上面的**，兩層迴圈，貌似這個**並不是線性的，其實不然。外層迴圈了n次這個沒有問題，關鍵是裡面的while迴圈，這個迴圈的次數是多少並不好確定，然而考慮單單考慮j的值的變化，會發現第七行j增加1，而第6行j則減少，可能減少1，可能減少2，可能少的更多，但是j<0時迴圈就終止了，也就是說j有n次增加的機會，會有多少次減少的機會？或者問j最多減少多少次？j減少的次數最多的時候，就是每次減少1，這樣最多的會減少n次，也就是說第六行的迴圈最多會執行n次。平攤到每個迴圈，則執行次數為o(1)，所以kmpsearch的時間複雜度仍然是線性的o(n)，同理，kmpgetnext的時間複雜度為o(m).

KMP演算法小結

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