字尾陣列處理字串的有力工具

字尾陣列——處理字串的有力工具

２００９年１月

【摘要】

字尾陣列是處理字串的有力工具。字尾陣列是字尾樹的乙個非常精巧的替代品，它比字尾樹容易程式設計實現，能夠實現字尾樹的很多功能而時間複雜度也並不遜色，而且它比字尾樹所占用的記憶體空間小很多。可以說，在資訊學競賽中字尾陣列比字尾樹要更為實用。本文分兩部分。第一部分介紹兩種構造字尾陣列的方法，重點介紹如何用簡潔高效的**實現，並對兩種演算法進行了比較。第二部分介紹字尾陣列在各種型別題目中的具體應用。

【關鍵字】

字串，字尾，字尾陣列，名次陣列，基數排序，

【正文】

一、字尾陣列的實現

本節主要介紹字尾陣列的兩種實現方法：倍增演算法（doubling algorithm）和dc3演算法（difference cover），並對兩種演算法進行了比較。可能有的讀者會認為這兩種演算法難以理解，即使理解了也難以用程式實現。本節針對這個問題，在介紹這兩種演算法的基礎上，還給出了簡潔高效的**。其中倍增演算法只有25行，dc3演算法只有40行。

1.1、基本定義

子串：字串s的子串r[i..j]，i≤j，表示r串中從i到j這一段，也就是順次排列r[i]，r[i+1]，...，r[j]形成的字串。

字尾：字尾是指從某個位置i開始到整個串末尾結束的乙個特殊子串。字串r的從第i個字元開始的字尾表示為suffix(i)，也就是suffix(i)=r[i..len(r)]。

大小比較：關於字串的大小比較，是指通常所說的「字典順序」比較，也就是對於兩個字串u、v，令i從1開始順次比較u[i]和v[i]，如果u[i]=v[i]則令i加1，否則若u[i]v[i]則認為u>v（也就是vlen(u)或者 i>len(v)仍比較不出結果，那麼若len(u)len(v)則 u>v。

從字串的大小比較的定義來看，s的兩個開頭位置不同的字尾 u和v進行比較的結果不可能是相等，因為 u=v的必要條件len(u)=len(v)在這裡不可能滿足。

字尾陣列：字尾陣列sa是乙個一維陣列，它儲存1..n的某個排列sa[1]，sa[2]，……，sa[n]，並且保證 suffix(sa[i])=0;i--) sa[--ws[x[i]]]=i;

for(j=1,p=1;p=j) y[p++]=sa[i]-j;

for(i=0;i=0;i--) sa[--ws[wv[i]]]=y[i];

for(t=x,x=y,y=t,p=1,x[sa[0]]=0,i=1;i=0;i--) sa[--ws[x[i]]]=i;

這裡x陣列儲存的值相當於是rank值。下面的操作只是用x陣列來比較字元的大小，所以沒有必要求出當前真實的rank值。

接下來進行若干次基數排序，在實現的時候，這裡有乙個小優化。基數排序要分兩次，第一次是對第二關鍵字排序，第二次是對第一關鍵字排序。對第二關鍵字排序的結果實際上可以利用上一次求得的sa直接算出，沒有必要再算一次。**：

for(p=0,i=n-j;i=j) y[p++]=sa[i]-j;

其中變數j是當前字串的長度，陣列y儲存的是對第二關鍵字排序的結果。然後要對第一關鍵字進行排序，**：

for(i=0;i=0;i--) sa[--ws[wv[i]]]=y[i];

這樣便求出了新的sa值。在求出sa後，下一步是計算rank值。這裡要注意的是，可能有多個字串的rank值是相同的，所以必須比較兩個字串是否完全相同，y陣列的值已經沒有必要儲存，為了節省空間，這裡用y陣列儲存rank值。這裡又有乙個小優化，將x和y定義為指標型別，複製整個陣列的操作可以用交換指標的值代替，不必將陣列中值乙個乙個的複製。**：

for(t=x,x=y,y=t,p=1,x[sa[0]]=0,i=1;i=0;i--) b[--ws[wv[i]]]=a[i];

return;

}void dc3(int *r,int *sa,int n,int m)

基數排序結束後，新的字元的排名儲存在 wb陣列中。

跟倍增演算法一樣，在基數排序以後，求新的字串時要判斷兩個字元組是否完全相同。**：

for(p=1,rn[f(wb[0])]=0,i=1; i1，如果h[i-1]≤1，原式顯然成立）並且suffix(k+1)和suffix(i)的最長公共字首是h[i-1]-1，所以suffix(i)和在它前一名的字尾的最長公共字首至少是h[i-1]-1。按照h[1]，h[2]，……，h[n]的順序計算，並利用h陣列的性質，時間複雜度可以降為o(n)。

具體實現：

實現的時候其實沒有必要儲存h陣列，只須按照h[1]，h[2]，……，h[n]的順序計算即可。**：

int rank[maxn],height[maxn];

void calheight(int *r,int *sa,int n)

{int i,j,k=0;

for(i=1;i<=n;i++) rank[sa[i]]=i;

for(i=0;i

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