迴圈不變式

先看引用自由cay horstmann寫的

computing concepts with c++ essentials (3rd)

一書的，用以計算a^n的例子：

double power(double a, int n)
else
}return r;
}

粗看一下，用此方法計算a^n時比原始方法進行迴圈次數要少很多。幾乎是1/2倍地遞減。

解釋此演算法，必須知道迴圈不變式

（loop invariant

）。即這個迴圈存在一條式子，每次迴圈它都成立。既然每次迴圈都成立，必然地最後一次迴圈亦成立，故可根據這恒等式得到答案。發現這條式子是困難的，不過幸運的是，我們是證明者而不是發現者，這條迴圈不變式是：

注意到我描述的是每次迴圈都成立，這種描述方式和數學歸納法及其相似：n = 1成立，若由n = k時成立可推出n = k + 1時也成立，則對於每個n，結論都成立。證明此恒等式亦可採用相似的形式。為描述方便，約定m表示迴圈次數，對應

的,i = 0時迴圈結束，b^i = 1, r = a^n。

好奇的我，試著看標準庫的的pow()函式，驚奇的發現，它也是用迴圈不變式的，並且**更為簡潔（這是修改後**，源**還有n的正負判斷）：

double power(double a, int n)
}

n & 1其實是判斷n是否為偶數，是偶數則表示式等於0，否則為1；n >>= 1等價於n = n/2.這個演算法效率更高，每次迴圈都將指數除2。

如果將**再次用i代替n，b代替a，改寫如下：

double power(double a, int n)
}

即有如下的迴圈不變式

雖然，在我以前所編的程式中，並沒發現有運用迴圈不變式的，就算有我也察覺不到。但是你只有了解了乙個技能的時候才能有機會學會它。乙個程式設計師總是有完美主義者傾向的，希望自己寫的程式簡潔效高，迴圈不變式即是提供這樣的一種方法，在特定時候。