為什麼使用齊次座標

按照通常使用的數學知識，二維平面上乙個點可以用它在x、y方向上的座標來標示為 p（x,y），但是在圖形學中偏偏要『畫蛇添足』的使用齊次座標，這樣我們必須使用乙個三維向量來表示乙個二維點即p（x,y,w)，最後乙個w就是那個『足』。

why？

首先想像有個絕對不變的座標系，記為w，然後以w為參照，建立兩個座標系o1和o2, o1的原點在w的（1,1)處，o2的原點在w的（2,2)處。

那麼w中的乙個點p（x,y）在o1中將變為p（x-1,y-1)，在o2中將是p（x-2, y-2)，這樣同乙個點p在不同的座標系下就具有了不同的表示。這會產生乙個問題：顯然，p點在二維空間的位置是唯一的，是與座標系無關的，而不同座標系下的表示看上去體現不了這種無關性。

the key

我們使用的是座標系這樣乙個概念，座標系忽略了座標原點所具有的重要意義：正是原點標示了該座標系處於哪個參照位置。如果用矩陣來表示乙個二維座標系，將會是如下形式：

|1 0|

|0 1|

其中（1 0)t表示乙個基向量，（0 1)t表示另乙個基向量，它們互相垂直，因此能利用它們標記整個二維空間。

(x, y)|1 0| = (x, y)

|0 1|

這就是二維座標的實際意義。

現在考慮將座標原點(a,b)也引入到這個矩陣表示中來：

|1 0 |

|0 1 |

|a b |

我們用這個矩陣可以表示二維空間中任意位置的乙個座標系，當然，這個座標系的基向量可以不為（0 1)t和（1 0)t，為了和座標系區分，我們稱這種新表示為標架表示。

好，問題來了，如果我們仍然用（x y）來表示點p，那麼根據矩陣的乘法規則，我們無法完成其乘法：mx n 的矩陣只能和 n xk的矩陣相乘。解決的辦法就是：給p點添乙個尾巴，這個尾巴通常為1：p（x y 1)，這就是p的齊次座標，利用新的齊次座標和矩陣相乘得到的結果為：

（x+a, y+b)，這樣同乙個點在不同標架下的不同表示最終會得到同乙個計算結果，它反映了這樣乙個事實：同乙個點在不同標架下的不同表示其實是等價的，這一點恰恰是使用座標系無法體現出來的。

顯然上面那個 3x2的矩陣和p的齊次表示相乘得到的不是齊次座標，所以應該將它擴充成3x3的方陣:

|1 0 0|

|0 1 0|

|a b 1|

經過擴充以後的新矩陣具有一些有趣的特性：利用它可以非常輕鬆的實現平移、旋轉以及縮放和剪下變換。