什麼是最長遞增子串行呢?
問題描述如下:
設l=是n個不同的實數的序列，l的遞增子串行是這樣乙個子串行lin=，其中k1#include
using namespace std;
int main()
for(max=i=0;i求出整個數列的最長遞增子串行的長度
if(b[i]>max)
max=b[i];
cout<
}return 0;
}顯然，這種方法的時間複雜度仍為o(n^2);
3、對第二種思路的改進：
第二種思路在狀態轉移時的複雜度為o(n),即在找a[k]前面滿足a[j]#include
using namespace std;
int find(int *a,int len,int n)//若返回值為x,則a[x]>=n>a[x-1]
return left;
}void fill(int *a,int n)
int main()
for(max=i=0;i
if(b[i]>max)
max=b[i];
cout<
}return 0;
}對於這段程式，我們可以用演算法導論上的loop invariants來幫助理解.
loop invariant: 1、每次迴圈結束後c都是單調遞增的。(這一性質決定了可以用二分查詢）
2、每次迴圈後，c[i]總是儲存長度為i的遞增子串行的最末的元素，若長度為i的遞增子序
列有多個，剛儲存末尾元素最小的那個.（這一性質決定是第3條性質成立的前提）
3、每次迴圈完後，b[i]總是儲存以a[i]結尾的最長遞增子串行。
initialization: 1、進入迴圈之前，c[0]=-1,c[1]=a[0],c的其他元素均為1000,c是單調遞增的;
2、進入迴圈之前，c[1]=a[0],儲存了長度為1時的遞增序列的最末的元素，且此時長度為1
的遞增了序列只有乙個，c[1]也是最小的;
3、進入迴圈之前，b[0]=1，此時以a[0]結尾的最長遞增子串行的長度為1.
maintenance: 1、若在第n次迴圈之前c是單調遞增的，則第n次迴圈時，c的值只在第6行發生變化，而由
c進入迴圈前單調遞增及find函式的性質可知（見find的注釋),
此時c[j+1]>c[j]>=a[i]>c[j-1],所以把c[j]的值更新為a[i]後，c[j+1]>c[j]>c[j-1]的性質仍然成
立，即c仍然是單調遞增的；
2、迴圈中，c的值只在第6行發生變化，由c[j]>=a[i]可知，c[j]更新為a[i]後，c[j]的值只會變
小不會變大，因為進入迴圈前c[j]的值是最小的，則迴圈中把c[j]更新為更小的a[i]，當
然此時c[j]的值仍是最小的;
3、迴圈中，b[i]的值在第7行發生了變化，因為有loop invariant的性質2，find函式返回值
為j有：c[j-1]長度，即為j-1,把a[i]接在c[j-1]後可得到以a[i]結尾的最長遞增子串行，長度為(j-1)+1=j;
termination: 迴圈完後，i=n-1,b[0],b[1],...,b[n-1]的值均已求出，即以a[0],a[1],...,a[n-1]結尾的最長遞
增子序列的長度均已求出，再通過第8行的迴圈，即求出了整個陣列的最長遞增子串行。
仔細分析上面的**可以發現，每次迴圈結束後，假設已經求出c[1],c[2],c[3],...,c[len]的值，則此時最長遞增子串行的長度為len,因此可以把上面的**更加簡化，即可以不需要陣列b來輔助儲存，第8行的迴圈也可以省略。
#include
using namespace std;
int find(int *a,int len,int n)//修改後的二分查詢，若返回值為x，則a[x]>=n
return left;
}int main()
cout<
}return 0;
}最長遞增部分序列 longest ordered subsequence extention hoj10027 poj2533
2007-08-21 20:19
求最長遞增部分序列是乙個比較常見的動態規劃題。在飛彈攔截等題中都有用到。一般來說就是用經典的o(n^2)的動態規劃演算法。
演算法如下：
設a[i]表示序列中的第i個數，f[i]表示從1到i這一段中以i結尾的最長上公升子串行的長度，初始時設f[i] = 0(i = 1, 2, ..., len(a))。則有動態規劃方程：f[i] = max (j = 1, 2, ..., i - 1, 且a[j] < a[i])。
然而在hoj10027中n的值達到了50000。顯而易見經典演算法是會超時滴。所以只有另謀出路了。
用乙個變數len記錄到目前為止所找出來的最長遞增序列的長度。另外準備乙個陣列b，用這個陣列表示長度為j的遞增序列中最後乙個元素的值。在這裡長度為j的遞增序列不止乙個，我們所要儲存是那個最小的。為什麼呢？因為最後乙個元素越小，那麼這個遞增序列在往後被延長的機會越大。初始化b[0] = -1;len = 0;從第乙個元素a[1]開始 a[i]( 1 <= i <= n)。如果這個元素比len長的序列的最大值大。則把這個元素直接新增到b陣列的後面。如果這個元素比b陣列的第乙個元素還要小則把這個元素賦給b陣列的第乙個值。否則進行二分查詢。當在b陣列裡面找到乙個數比a[i]小，並且他的後面的數大於或等於a[i]則跳出。將a[i]新增到這個數的後面。輸出len就可以了。
**如下：
#include
#include
int main()
if (b[mid] > a[i])
else
}b[j + 1] = a[i];}}
printf("%d\n", len);
}return 0;
求陣列中最長遞增子串行
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