1970
年，魯道夫·貝爾（
r.bayer
）的先於紅黑樹提出了
b樹。這種適用於外查詢的樹，是一種平衡的多叉樹，又稱
b-樹。
b樹與紅黑樹最大的不同在於，
b樹的結點可以有許多子女，從幾個到幾千個。那為什麼又說
b樹與紅黑樹很相似呢？因為與紅黑樹一樣，一棵含
n個結點的
b樹的高度也為o（
log2
n），但可能比一棵紅黑樹的高度小許多，應為它的分支因子比較大。所以，
b樹可以在o（
log2
n）時間內，實現各種如插入（
insert
），刪除（
delete
）等動態集合操作。
如下圖所示，即是一棵
b樹，一棵關鍵字為英語中子音字母的
b樹，現在要從樹中查詢字母
r（包含
n[x]
個關鍵字的內結點x，
x有n[x]+1]
個子女（也就是說，乙個內結點
x若含有
n[x]
個關鍵字，那麼
x將含有
n[x]+1
個子女）。所有的葉結點都處於相同的深度，帶陰影的結點為查詢字母
r時要檢查的結點）：
相信，從上圖你能輕易的看到，乙個內結點x若含有n個關鍵字，那麼x將含有n+1個子女。如含有2個關鍵字d h的內結點有3個子女，而含有3個關鍵字q t x的內結點有4個子女。
一、b樹(b-樹)的概念
b 樹又叫平衡多路查詢樹。一棵m階的b 樹(m叉樹）的特性如下： 1．
樹中每個結點最多含有m個孩子（m>=2）； 2．
除根結點和葉子結點外，其它每個結點至少有[ceil(m / 2)]個孩子（其中ceil(x)是乙個向上去整的函式）； 3．
如果根結點不是葉子結點，則至少有2個孩子（特殊情況：沒有孩子的根結點，即根結點為葉子結點，整棵樹只有乙個根節點）； 4．
所有葉子結點都出現在同一層，葉子結點不包含任何關鍵字資訊
(可以看做是外部接點或查詢失敗的接點，實際上這些結點不存在，指向這些結點的指標都為null)； 5．
每個非終端結點中包含有n個關鍵字資訊：(n，p0，k1，p1，k2，p2，......，kn，pn)。其中： a)
ki (i=1...n)
為關鍵字，且關鍵字按順序公升序排序k(i-1)< ki。 b)
pi為指向子樹根的節點，且指標p(i-1)指向子樹種所有結點的關鍵字均小於ki，但都大於k(i-1)。 c)
關鍵字的個數n必須滿足：[ceil(m / 2)-1]<= n <= m-1。
針對上面第5點，再闡述下：b樹中每乙個結點能包含的關鍵字數有乙個上界和下界。這兩個界可以用乙個稱作b樹的最小度數t（t>=2）表示。
每個非根的結點必須至少含有t-1個關鍵字。每個非根的內結點至少有t個子女。如果樹是非空的，則根結點至少包含乙個關鍵字；
每個結點可包含之多2t-1個關鍵字。所以乙個內結點至多可有2t個子女。如果乙個結點恰好有2t-1個關鍵字，我們就說這個結點是滿的（而稍後介紹的b*樹作為b樹的一種常用變形，b*樹中要求每個內結點至少為2/3滿，而不是像這裡的b樹所要求的至少半滿）；
當關鍵字數t=2（t=2的意思是，tmin=2，t可=2）時的b樹是最簡單的（有很多人會因此誤認為b樹就是二叉查詢樹，但二叉查詢樹就是二叉查詢樹，b樹就是b樹，b樹的真正最準確的定義為：一棵含有t（t>=2）個關鍵字的平衡多路查詢樹）。每個內結點可能因此而含有2個、3個或4個子女，亦即一棵2-3-4樹，然而在實際中，通常採用大得多的t值。
b樹中的每個結點根據實際情況可以包含大量的關鍵字資訊和分支（當然是不能超過磁碟塊的大小，根據磁碟驅動(disk drives)的不同，一般塊的大小在512b~4k左右）；這樣樹的深度降低了，這就意味著查詢乙個元素只要很少結點從外存磁碟中讀入記憶體，很快訪問到要查詢的資料。
b樹的概念介紹完了，對於這麼複雜和抽象的演算法，要想把它吃透，只有拿出我們看家本領了，具體化：
為了簡單，這裡用少量資料構造一棵3叉樹的形式，實際應用中的b樹結點中關鍵字很多的。上面的圖中比如根結點，其中17比表示乙個磁碟檔案的檔名；小紅方塊表示這個17檔案內容在硬碟中的儲存位置；p1表示指向17左子樹的指標。
其結構可以簡單定義為：
typedef struct btnode;下面，咱們來模擬下查詢檔案29的過程： 1．
根據根結點指標找到檔案目錄的根磁碟塊1，將其中的資訊匯入記憶體。【磁碟io操作1次】 2．
此時記憶體中有兩個檔名17、35和三個儲存其他磁碟頁面位址的資料。根據演算法我們發現17<29<35，因此我們找到指標p2。 3．
根據p2指標，我們定位到磁碟塊3，並將其中的資訊匯入記憶體。【磁碟io操作2次】 4．
此時記憶體中有兩個檔名26，30和三個儲存其他磁碟頁面位址的資料。根據演算法我們發,26<29<30，因此我們找到指標p2。 5．
根據p2指標，我們定位到磁碟塊8，並將其中的資訊匯入記憶體。【磁碟io操作3次】 6．
此時記憶體中有兩個檔名28，29。根據演算法我們查詢到文,29，並定位了該檔案記憶體的磁碟位址。
分析上面的過程，發現需要3次磁碟io操作和3次記憶體查詢操作。關於記憶體中的檔名查詢，由於是乙個有序表結構，可以利用折半查詢提高效率。至於io操作時影響整個b樹查詢效率的決定因素。
當然，如果我們使用平衡二叉樹的磁碟儲存結構來進行查詢，磁碟4次，最多5次，而且檔案越多，b樹比平衡二叉樹所用的磁碟io操作次數將越少，效率也越高。
二、b+樹的概念
b+樹是應檔案系統所需而產生的一種b-tree的變形樹。一棵m階的b+樹和m階的b樹的差異在於：
1．有n棵子樹的結點中含有n個關鍵字；(而b 樹是n棵子樹有n-1個關鍵字)
2．所有的葉子結點中包含了全部關鍵字的資訊，及指向含有這些關鍵字記錄的指標，且葉子結點本身依關鍵字的大小自小而大的順序鏈結。(而b 樹的葉子節點並沒有包括全部需要查詢的資訊)
3．所有的非終端結點可以看成是索引部分，結點中僅含有其子樹根結點中最大（或最小）關鍵字。(而b 樹的非終節點也包含需要查詢的有效資訊)
為什麼說b+-tree比b 樹更適合實際應用中作業系統的檔案索引和資料庫索引？
（1）b+-tree的磁碟讀寫代價更低
b+-tree的內部結點並沒有指向關鍵字具體資訊的指標。因此其內部結點相對b 樹更小。如果把所有同一內部結點的關鍵字存放在同一盤塊中，那麼盤塊所能容納的關鍵字數量也越多。一次性讀入記憶體中的需要查詢的關鍵字也就越多。相對來說io讀寫次數也就降低了。
舉個例子，假設磁碟中的乙個盤塊容納16bytes，而乙個關鍵字2bytes，乙個關鍵字具體資訊指標2bytes。一棵9階b-tree(乙個結點最多8個關鍵字)的內部結點需要2個盤快。而b+ 樹內部結點只需要1個盤快。當需要把內部結點讀入記憶體中的時候，b 樹就比b+ 樹多一次盤塊查詢時間(在磁碟中就是碟片旋轉的時間)。
（2）b+-tree的查詢效率更加穩定
由於非終結點並不是最終指向檔案內容的結點，而只是葉子結點中關鍵字的索引。所以任何關鍵字的查詢必須走一條從根結點到葉子結點的路。所有關鍵字查詢的路徑長度相同，導致每乙個資料的查詢效率相當。
三、b*樹的概念
b*樹是b+樹的變體，在b+ 樹非根和非葉子結點再增加指向兄弟的指標；b*樹定義了非葉子結點關鍵字個數至少為(2/3)*m，即塊的最低使用率為2/3（代替b+樹的1/2）。給出了乙個簡單例項，如下圖所示：
b+樹的**：當乙個結點滿時，分配乙個新的結點，並將原結點中1/2的資料複製到新結點，最後在父結點中增加新結點的指標；b+樹的**只影響原結點和父結點，而不會影響兄弟結點，所以它不需要指向兄弟的指標。
b*樹的**：當乙個結點滿時，如果它的下乙個兄弟結點未滿，那麼將一部分資料移到兄弟結點中，再在原結點插入關鍵字，最後修改父結點中兄弟結點的關鍵字（因為兄弟結點的關鍵字範圍改變了）；如果兄弟也滿了，則在原結點與兄弟結點之間增加新結點，並各複製1/3的資料到新結點，最後在父結點增加新結點的指標。
所以，b*樹分配新結點的概率比b+樹要低，空間使用率更高。
B樹 B 樹及索引
b樹 每個節點都儲存key和data，所有節點組成這棵樹，並且葉子節點指標為null。b 樹 只有葉子節點儲存data，葉子節點包含了這棵樹的所有鍵值，葉子節點不儲存指標。後來在b 樹上加了順序訪問指標，也就是每個葉子節點增加乙個指向相鄰葉子節點的指標。可以像遍歷鍊錶一樣遍歷葉子節點。b 樹是資料庫...
B樹 B 樹 B 樹 B 樹相關定義及操作
b 樹即二叉搜尋樹 1.所有非葉子結點至多擁有兩個兒子 left 和right 2.所有結點儲存乙個關鍵字 3.非葉子結點的左指標指向小於其關鍵字的子樹，右指標指向大於其關鍵字的子樹 如 b樹的搜尋，從根結點開始，如果查詢的關鍵字與結點的關鍵字相等，那麼就命中 否則，如果查詢關鍵字比結點關鍵字小，就...
演算法題目第3題（B樹，B 樹，B 樹，B 樹）
一道筆試題 記不清楚了 b 樹插入操作的平均時間複雜度為o logn 最壞時間複雜度為o n hash表插入操作的平均時間複雜度為o 1 最壞時間複雜度為o n 排序鍊錶插入操作的平均時間複雜度為o n 最壞時間複雜度為o n 紅黑樹插入操作的平均時間複雜度為o logn 最壞時間複雜度為o n 這...