gj：看到乙個介紹comsol解決物理問題弱形式的文件，感覺很牛啊，通過comsol multiphysics的弱形式使用者介面來求解更多更複雜的問題，這絕對是物理研究的利器啊！而且貌似comsol是唯一可以直接使用弱形式來求解問題的軟體。
一般情況下，pde方程都已經內建在comsol multiphysics的各個模組當中，這種情況下，沒有必要去了解pde方程和及其相關的弱形式。有時候可能問題是沒有辦法用comsol multiphysics內建模組來求解的，這個時候可以使用經典pde模版。但是，有時候可能經典pde模版也不包括要求解的問題，這個時候就只能使用弱形式了（雖然這種情況是極少數的）。另乙個原因就是弱形式有時候描述問題比pde方程緊湊的多。還有，如果你是乙個教授去教有限元分析方法，可以幫助學生們直接利用弱形式來更深入的了解有限元。最後，你對有限元方法了解的越多，對於comsol中的一些求解器的高階設定就懂得更多。
乙個重要的事實是：在所有的應用模式和pde模式求解的時候，comsol multiphysics都是先將方程式系統轉為了弱形式，然後進行求解。
1. 偏微分方程
2. 能量最小化形式
3. 弱形式
pde問題常常具有最小能量問題的等效形式，這讓人有一種直覺，那就是pde方程都可以有相應的弱形式。實際上這些pde方程和能量最小值問題只是同乙個物理方程的兩種不同表達形式罷了，同樣，弱形式（幾乎）是同乙個物理方程的第三個等效形式。我們必須記住，這三種形式只是求解同乙個問題的三種不同形式――用數學方法求解真實世界的物理現象。根據不同的需求，這三種方式又有各自不同的優點。
pde形式在各種書籍中比較常見，而且一般都提供了pde方程的解法。能量法一般見於結構分析的文獻中，採用彈性勢能最小化形式求解問題是相當自然的一件事。當我們的研究範圍超出了標準有限元應用領域，比如傳熱和結構，這個時候弱形式是不可避免的。化工中的傳質問題和流體中的n-s方程都是沒有辦法用最小能量原理表述出來的。
弱形式的特點
pde方程是帶有偏微分運算元的方程，而能量方程是以積分形式表達的。積分形式的好處就是特別適合於有限元方法，而且不用擔心積分變數的不連續，這在偏微分方程中比較普遍。弱形式也是積分形式，擁有和積分形式同樣的優點，但是他對積分變數的連續性要求更低，可以看作是能量最小化形式的更一般形式。最重要的是，弱形式非常適合求解非線性的多物理場問題，這就是comsol multiphysics的重點了。
正如前面所提到的，弱形式只是pde方程的一種推廣形式，它對變數的連續性要求比較低。那麼能量方法呢？如果有乙個定義好了的能量來最小化，那麼能量法和弱形式是一致的。但是，在下列情形下，弱形式更具有適用性：假如pde方程沒有相對應的能量可以進行最小化。在這種情況下，弱形式仍然是適用的。由於弱形式對解的要求較低，所以說弱形式比pde和能量最小化適用範圍更廣泛。
gj：弱形式和最小能量形式的區別就在於虛位移δu與試函式v的差別，如下面兩式
也就是說，泛函求極值即為泛函的變分為0，如上面的式子1，所以泛函的有限元解對任意擾動δu成立，而從式子2可以看到，弱形式的解只是對自己設定的試函式v成立。所以泛函求極值得到近似函式是弱形式的特殊形式，即弱形式的試函式v可以任意取而求得的近似函式，所以從這種意義上說泛函形式求得的近似解更完備。
但很多情況下無法得到pde問題的泛函形式（變分原理裡提到，只有滿足一定條件的運算元才有對應的泛函），而此時pde的弱形式是始終存在的，所以弱形式比泛函更廣泛。
另外還會發現兩者的乙個區別是泛函的網格離散化不是轉化為泛函變分後求解的，而是直接在泛函中帶入帶未知引數的近似函式，從而轉化為函式的極值，進而得到未知引數的方程，求得未知引數，而弱形式的離散化則是在弱形式下直接離散化。前面提到泛函形式的解相當於對弱形式的任意試函式成立的解，這個任意性隱藏在了泛函變分里。
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