數學之美系列十二餘弦定理和新聞的分類

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餘弦定理和新聞的分類似乎是兩件八桿子打不著的事，但是它們確有緊密的聯絡。具體說，新聞的分類很大程度上依靠餘弦定理。

google 的新聞是自動分類和整理的。所謂新聞的分類無非是要把相似的新聞放到一類中。計算機其實讀不懂新聞，它只能快速計算。這就要求我們設計乙個演算法來算出任意兩篇新聞的相似性。為了做到這一點，我們需要想辦法用一組數字來描述一篇新聞。

我們來看看怎樣找一組數字，或者說乙個向量來描述一篇新聞。回憶一下我們在「

如何度量網頁相關性

」一文中介紹的tf/idf 的概念。對於一篇新聞中的所有實詞，我們可以計算出它們的單文字詞彙頻率/逆文字頻率值（tf/idf)。不難想象，和新聞主題有關的那些實詞頻率高，tf/idf 值很大。我們按照這些實詞在詞彙表的位置對它們的 tf/idf 值排序。比如，詞彙表有六萬四千個詞，分別為

單詞編號漢字詞

------------------

1 阿2 啊

3 阿斗

4 阿姨

...789 服裝

....

64000 做作

在一篇新聞中，這 64,000 個詞的 tf/idf 值分別為

單詞編號 tf/idf 值

**********====

1 02 0.0034

3 04 0.00052

5 0...

789 0.034

...64000 0.075

如果單詞表中的某個次在新聞中沒有出現，對應的值為零，那麼這 64,000 個數，組成乙個64,000維的向量。我們就用這個向量來代表這篇新聞，並成為新聞的特徵向量。如果兩篇新聞的特徵向量相近，則對應的新聞內容相似，它們應當歸在一類，反之亦然。

學過向量代數的人都知道，向量實際上是多維空間中有方向的線段。如果兩個向量的方向一致，即夾角接近零，那麼這兩個向量就相近。而要確定兩個向量方向是否一致，這就要用到餘弦定理計算向量的夾角了。

餘弦定理對我們每個人都不陌生，它描述了三角形中任何乙個夾角和三個邊的關係，換句話說，給定三角形的三條邊，我們可以用餘弦定理求出三角形各個角的角度。假定三角形的三條邊為 a, b 和 c，對應的三個角為 a, b 和 c，那麼角 a 的余弦 --

如果我們將三角形的兩邊 b 和 c 看成是兩個向量，那麼上述公式等價於

其中分母表示兩個向量 b 和 c 的長度，分子表示兩個向量的內積。舉乙個具體的例子，假如新聞 x 和新聞 y 對應向量分別是

x1,x2,...,x64000 和

y1,y2,...,y64000,

那麼它們夾角的余弦等於，

當兩條新聞向量夾角的余弦等於一時，這兩條新聞完全重複（用這個辦法可以刪除重複的網頁）；當夾角的余弦接近於一時，兩條新聞相似，從而可以歸成一類；夾角的余弦越小，兩條新聞越不相關。

我們在中學學習餘弦定理時，恐怕很難想象它可以用來對新聞進行分類。在這裡，我們再一次看到數學工具的用途。

數學之美系列十二 餘弦定理和新聞的分類