《程式設計之美》讀書筆記：1.3 一摞烙餅的排序
問題：
星期五的晚上，一幫同事在希格瑪大廈附近的「硬碟酒吧」多喝了幾杯。程式設計師多喝了幾杯之後談什麼呢？自然是演算法問題。有個同事說：「我以前在餐館打工，顧客經常點非常多的烙餅。店裡的餅大小不一，我習慣在到達顧客飯桌前，把一摞餅按照大小次序擺好——小的在上面，大的在下面。由於我乙隻手托著盤子，只好用另乙隻手，一次抓住最上面的幾塊餅，把它們上下顛倒個個兒，反覆幾次之後，這摞烙餅就排好序了。我後來想，這實際上是個有趣的排序問題：假設有n塊大小不一的烙餅，那最少要翻幾次，才能達到最後大小有序的結果呢？」
你能否寫出乙個程式，對於n塊大小不一的烙餅，輸出最優化的翻餅過程呢？
n個烙餅經過翻轉後的所有狀態可組成一棵樹。尋找翻轉最少次數，相當於在樹中搜尋層次最低的某個節點。
2*n-3
（從網上可搜尋到對該上限值最新研究結果：上限值為18/11*n），當然，最好還是直接計算出採用這種方案的翻轉次數做為初始值。
減少遍歷次數：
1 減小「最少翻轉次數上限值」的初始值，採用前面提到的翻轉方案，取其翻轉次數為初始值。
對書中的例子，初始值可以取10。
），不允許翻轉回上次狀態時需搜尋195次，而允許翻轉回上次狀態時只要搜尋116次。
3 如果最後的幾個烙餅已經就位，只須考慮前面的幾個烙餅。
對狀態(0,1,3,4,2,5,6)，編號為5和6的烙餅已經就位，只須考慮前5個烙餅，即狀態(0,1,3,4,2)。如果乙個最優解，從某次翻轉開始移動了乙個已經就位的烙餅，且該烙餅後的所有烙餅都已經就位，那麼，對這個解法，從這次翻轉開始得到的一系列狀態，從中移除這個烙餅，得到新的狀態，可以設計出乙個新的解法對應這系列新的狀態。該解法所用的翻轉次數不會比原來的多。
4 估計每個狀態還需要翻轉的最少次數（即下限值），加上當前的深度，如果大等於上限值，就無需繼續遍歷。這個下限值可以這樣確定：從最後乙個位置開始，往前找到第乙個與最終結果位置不同的烙餅編號（也就是說排除最後幾個已經就位的烙餅），從該位置到第乙個位置，計算相鄰的烙餅的編號不連續的次數，再加上1。每次翻轉最多只能使不連續的次數減少1，但很多人會忽略掉這個情況：最大的烙餅沒有就位時，必然需要一次翻轉使其就位，而這次翻轉卻不改變不連續次數。（可以在最後面增加乙個更大的烙餅，使這次翻轉可以改變不連續數。）
如：對狀態(0,1,3,4,2,5,6)等同於狀態(0,1,3,4,2)，由於1、3和4、2不連續，因而下限值為2+1=3。下限值也可以這樣確定：在最後面增加乙個已經已就位的最大的烙餅，然後再計算不連續數。
如：(0,1,3,4,2)，可以看作(0,1,3,4,2,5)，1和3 、4和2 、2和5這三個不連續，下限值為3。
5多數情況下，翻轉次數的上限值越大，搜尋次數就越多。可以採用貪心演算法，通過調整每次所有可能翻轉的優先順序，盡快找到乙個解，從而減少搜尋次數。比如，優先搜尋使「下限值」減少的翻轉，其次是使「下限值」不變的翻轉，最後才搜尋使「下限值」增加的翻轉。對「下限值」不變的翻轉，還可以根據其下次的翻轉對「下限值」的影響，再重新排序。由於進行了優先排序，翻轉回上一次狀態能減少搜尋次數的可能性得到進一步降低。
6 其它剪枝方法：
假設第m次翻轉時，「上限值」為min_swap。
如果在某個位置的翻轉後，「下限值」為k，並且 k+m>=min_swap，則對所有的使新「下限值」kk大等於k的翻轉，都有 kk+m>=min_swap，因而都可以不搜尋。
另外，由於翻轉時，只有兩個位置的改變才對「下限值」有影響，因而可以記錄每個狀態的「下限值」，翻轉時，通過幾次比較，就可以確定新狀態的「下限值」。（判斷不連續次數時，最好寫成-1<=x && x<=1， 而不是x==1 || x==-1。對於 int x; a<=x && x<=b，編譯器可以將其優化為 unsigned (x-a) <= b-a。）
結果：對書上的例子：
翻轉回上次狀態
搜尋函式被呼叫次數
翻轉函式被呼叫次數
1.3_pancake_2
不允許29
66 1.3_pancake_2允許
3374
1.3_pancake_1
不允許195398
1.3_pancake_1允許
116
240
另外，對1.3_pancake_2.cpp的第148行做個簡單的改動：
for (int pos=1, last_swap=cake_swap[step++]; pos0; ++pos){
只是改變了搜尋順序，但卻極大提公升了搜尋效率。對書上的例子，搜尋次數進一步降到11次（實際上前六次搜尋找到了乙個解，後而的幾次用於判斷這個解是是最優解）。遍歷所有可能的排列求第1個……第10個烙餅數所用的總時間，也由原來的38秒降到21秒。
補充：在網上下了《程式設計之美》「第6刷」的源**，結果在編譯時存在以下問題：
1 assert 應該是 assert
2 m_arrswap 未被定義，應該改為m_swaparray
3 init函式兩個for迴圈，後乙個沒定義變數i，應該將i 改為 int i
另外，每執行一次run函式，就會呼叫init函式，就會申請新的記憶體，但卻沒有釋放原來的記憶體，會造成記憶體洩漏。
書上程式的低效主要是由於進行剪枝判斷時，沒有考慮好邊界條件，可進行如下修改：
1 if(step + nestimate > m_nmaxswap) >
改為 >=。
2 判斷下界時，如果最大的烙餅不在最後乙個位置，則要多翻轉一次，因而在lowerbound函式return ret; 前插入一行：
if (pcakearray[ncakecnt-1] != ncakecnt-1) ret++; 。
3 n個烙餅，翻轉最大的n-2烙餅最多需要2*(n-2)次，剩下的2個最多1次，因而上限值為2*n-3，因此，m_nmaxswap初始值可以取2*n-3+1=2*n-2，這樣每步與m_nmaxswap的判斷就可以取大等於號。
4 採用書上提到的確定「上限值」的方法，直接構建乙個初始解，取其翻轉次數為m_nmaxswap的初始值。
1和2任改一處，都能使搜尋次數從172126降到兩萬多，兩處都改，搜尋次數降到3475。若再改動第3處，搜尋次數降到2989；若採用4的方法（此時初始值為10），搜尋次數可降到1045。
程式設計之美 一摞烙餅排序
問題 星期五的晚上，一幫同事在希格瑪大廈附近的 硬碟酒吧 多喝了幾杯。程式設計師多喝了幾杯之後談什麼呢？自然是演算法問題。有個同事說 我以前在餐館打工，顧客經常點非常多的烙餅。店裡的餅大小不一，我習慣在到達顧客飯桌前，把一摞餅按照大小次序擺好 小的在上面，大的在下面。由於我乙隻手托著盤子，只好用另乙...
程式設計之美1 3 一摞烙餅的排序（Python）
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程式設計之美 一摞烙餅的排序
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