演算法 排序 快速排序 QuickSort 分析

題目：演算法-排序-快速排序(quicksort)分析

摘要：

此文介紹了快速排序的演算法以及基本分析，最後總結。

此系列文均為方便日後重複粗略檢視時不必翻看書籍。

快速排序詳細分析 

給出了非常詳細的partition時各種掃瞄方式， 以及介紹分治時尾遞迴的方式。
值得學習

快速排序通過劃分陣列為分別大於和小於key的兩個連續部分，進而遞迴實現排序。

它的特點包括：

1. 就地排序(in place): 不需要更多的記憶體空間

2. 遞迴呼叫：思路簡單

1. 最壞情況

2. 平均情況

， 而且隱含的常數因子很小。 （何謂隱含的常數因子？…， to be idtendified）

演算法過程

quick sort過程 ([2],p85)

1ifp

< r

2thenq ← partition(a , p , r )

3 quicksort(a , p , q - 1)

4 quicksort(a , q + 1, r )

quick sort中用到的partition過程 ([2],p85)

1 x ← a [r ]

2 i ← p - 1

3forj ← ptor - 1

4do ifa [j ] ≤ x

5theni ← i + 1

6 exchange a [i ] ↔ a [j ]

7 exchange a [i + 1] ↔ a [r ]

8returni + 1

下圖([2] 圖7-2)非常好的描述了partition過程中陣列元素的位置分布情況。

下面簡單介紹一下partition的迴圈中某一次的資料編排方式：

if (array[j] > x,

j++

else

i++, j++,

exchange array[i]  array[j-1]

演算法簡單分析中，將著重以傳達意思為主，不會涉及嚴格的數學公式證明。

注意：每次劃分n個元素的時間代價為 thet(n). 不論劃分結果如何.
假設對n個元素排序所需時間為 t(n)
最壞情況：
最壞情況為劃分的兩個區域分別包含 n-1 個 和 0 個元素，
即：每次劃分選取的基準都是當前無序區中關鍵字最小（或最大）的記錄。
這樣接下來的n-1個元素劃分的時間為t(n-1)。
這樣我們得到
t(n)=t(n-1)+thet(n)
看到這個公式，根據基本概念，可以知道其複雜度為thet(n平方). 當然也可以通過[2]中的主定理證明。
思考：如果輸入資料已經排好序，不論正序或者倒序，都將造成最壞情況。
最佳情況：
最佳情況為兩個區域個包含 n/2個元素，這樣
t(n)=2t(n/2)+thet(n)
再由主定理 複雜度為 thet(nlgn)
思考1：merge sort的公式為t(n) = 2 t(n/2) + thet(n), 其時間複雜度為 thet( n * log n ). 為什麼不直接使用merge sort？ 
因為merge sort需要太多的memory。
思考2：這裡，我們一定要有這樣的思維，目前我們碰到的merge sort, quick sort都出現了t(n) = t ( an+b ) + thet(n)類似的公式。
也就是說，有可能大部分簡單的排序演算法都可以通過分而治之(divide and conquer), 分步法等簡要直白的方式，將問題簡化為此類公式。
此公式方便的開啟了演算法分析之門。
思考3：merge sort最大可能使用多少記憶體？todo
我們知道，我們無法決定每次劃分的情況。但是我們知道只要每次劃分出現一定隨機化分布，就會得到比較好的劃分結果，至少不會最差。
我們通過每次選擇參照的元素時，不直接選取最後乙個，而是隨機選取（random sampling)，就可以輕易達到效果。
同時，不用擔心對原有partition程式的乖動，我們只要在隨機選取後，將隨機樣本與陣列最後元素交換位置即可。
如下：randomized-partition(a, p, r)
1. i 
2. exchange a[r]  a[i]
3. partition(a, p, r)
randomized-quicksort(a, p, r)
1. if p < r
2. then q 
3.         randomized-partition(a, p, q-1)
4.         randomized-partition(a, q+1, r)
演算法進一步分析
todo

todo。

[1]. 演算法分析導論 section1.4平均情形分析，1.5例：快速排序的分析

[2]. 演算法導論,ch，v2，  chapter 7 快速排序

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