傅利葉分析可以說是訊號處理最重要的基石之一。但傅利葉級數、傅利葉變換、離散時間傅利葉變換、離散傅利葉變換等幾個有點像又有點不像的概念，不僅經常搞得初學者暈頭轉向，有時候讓老手也有點糊塗。
在開篇之前，先簡要介紹一下傅利葉分析有關的八卦舊聞。早在
19世紀初，法國數學家、物理學家傅利葉在研究熱傳導問題的時候，就提出週期訊號可以分解為許多個正弦函式的疊加。
1807
年，他把這個想法寫成一篇**投給了法蘭西科學院。當時負責這篇文章審稿的有兩位世界著名的法國數學家：拉普拉斯和拉格朗日。審稿的結果是拉普拉斯認為可以發表，拉格朗日認為不連續的訊號如方波訊號不能用三角函式分解。法國科學院懾於拉格朗日的威名，最後拒絕了這篇**。由於隨後傅利葉先是忙於政治活動，後來又隨拿破崙遠征埃及，在法國大革命後又設法免遭上斷頭台之苦，傅利葉根本無暇顧及這篇**。在**被拒絕
15年之後，法蘭西科學院又刊出了這篇**，因為當時不同意**發表的拉格朗日去世了。正是這篇**，奠定了傅利葉分析在訊號處理歷史上的地位。
1、
傅利葉級數
在高等數學中就已經知道，在滿足一定的條件下，任何乙個週期訊號都可以分解為正弦訊號的疊加。在高等數學中，這種分解就叫傅利葉級數。在訊號處理學習的最初階段，也是從這個概念出發，開始輸入到訊號處理的傅利葉世界。在訊號處理中，週期連續訊號的傅利葉分析稱為傅利葉級數。此時，在傅利葉分析之前，訊號是週期，連續的，在之後，結果是離散的。
2、
傅利葉變換
對於連續訊號，如果訊號不是週期的，其傅利葉分析結果又是如何呢？非週期訊號可以等效為週期為無窮大的週期訊號。於是，由傅利葉級數出發，利用極限的有關概念，可以推導出非週期訊號的傅利葉分析結果，這就是傅利葉變換。再囉嗦一句，非週期連續訊號的傅利葉分析稱為傅利葉變換。在傅利葉分析之前，訊號是非週期的，連續的，在之後，結果也是連續的。
3、
離散時間傅利葉變換
傅利葉級數和傅利葉變換都是針對連續訊號而言的，那麼對於數碼訊號而言，是否有對應的傅利葉分析呢？答案是肯定的，這就是離散時間傅利葉變換（
dtft
）和離散傅利葉變換（
dft）。
對非週期離散訊號的傅利葉分析稱為離散時間傅利葉變換。在傅利葉分析之前，訊號是非週期的，離散的，在之後，結果是連續的。
4、
離散傅利葉變換
對週期離散訊號的傅利葉分析稱為離散傅利葉變換。在傅利葉分析之前，訊號是週期的，離散的，在之後，結果是離散的。如果按照前面三種分析的命名，離散傅利葉變換叫離散傅利葉級數似乎更為妥當。但由於歷史的原因，大家習慣把這種傅利葉分析稱為離散傅利葉變換。當然，關於
dft是否隱含著訊號週期性的問題，也有一些爭論。有的認為進行
dft分析就意味著預設離散訊號是週期的，有的則認為離散訊號不一定要看成是週期的。此處採取預設離散訊號週期性的說法，主要是基於如下理由：如果把
dft看做是對
dtft
結果在頻域的取樣的話，那麼根據訊號系統的有關理論可知，頻域的取樣等效於時域的週期延拓，這樣，離散訊號自然變成週期的了。在實際分析中，將
dft看做是對
dtft
結果在頻域的取樣是合乎情理的。
這上面的四個與傅利葉分析有關的概念，最重要的是
dft。因為前面三種分析都需要假定訊號的時域及頻域都是無限長的。從概念上講，雖然
dft也需要時域頻域無限長，但由於時域頻域都是週期的，因此只需要乙個週期的資訊即可。另外，由於計算機等數字裝置只能處理數碼訊號，也即是要求無論是時域還是頻域，都要是離散的。因此，
dft在實踐中占有最重要的地位。傅利葉級數，傅利葉變換，離散時間傅利葉變換這三個概念則更多的用於理論分析中。
原創 傅利葉分析中幾個容易混淆的概念
傅利葉分析可以說是訊號處理最重要的基石之一。但傅利葉級數 傅利葉變換 離散時間傅利葉變換 離散傅利葉變換等幾個有點像又有點不像的概念，不僅經常搞得初學者暈頭轉向，有時候讓老手也有點糊塗。在開篇之前，先簡要介紹一下傅利葉分析有關的八卦舊聞。早在 19世紀初，法國數學家 物理學家傅利葉在研究熱傳導問題的...
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